Каталог задач

Дробь тремя способами: доли круга, точка на координатной прямой и запись числами — сокращённая, смешанное число, десятичная. Если умножить числитель и знаменатель на одно число, части станут мельче, а точка останется на месте.

Обыкновенные и десятичные дроби в одном выражении: общий знаменатель, порядок действий, «многоэтажная» дробь. Пример разбирается по шагам.

Найти число по его цифрам: кратное 15 с суммой цифр 21, записанное только двойками и нулями, оставшееся после вычеркнутых цифр. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 25 и их сочетания — на 6, 12, 15, 18, 36, 45; подходит любое число с нужными свойствами, а не одно.

Последняя задача профильного ЕГЭ в три пункта: а) и б) — может ли быть так, с примером или оценкой, в) — наибольшее значение. Различные натуральные числа с данной суммой, числа двух видов с данной суммой, последовательные натуральные числа с данной суммой. Ответ на каждый пункт проверяется сразу: да, нет, число; полное решение по критериям — у репетитора.

Два луча из одной точки и транспортир, приложенный к ним. Угол — разность показаний на сторонах; перетаскивайте лучи и следите, когда угол становится острым, прямым, тупым или развёрнутым.

Фигура на клетках и её отражение относительно прямой или точки: до оси столько же клеток, сколько за ней. Вершины фигуры и ось можно перетаскивать.

Перетаскивайте вершины треугольника и смотрите, как пересекаются медианы, высоты, биссектрисы и серединные перпендикуляры. Длины сторон, углы и площадь по формуле Герона пересчитываются на ходу.

Двигайте точки по окружности: вписанный угол всегда равен половине дуги, на которую он опирается, а опирающийся на диаметр — прямой. Касательная перпендикулярна радиусу.

Многоугольник с вершинами в узлах сетки — как в заданиях ОГЭ. Площадь считается по формуле Пика через узлы на границе и внутри, длины сторон — по теореме Пифагора.

Отрезок с концами в узлах сетки — как в заданиях ОГЭ. Достройте прямоугольный треугольник: катеты — число клеток по горизонтали и вертикали. Тогда $AB = \sqrt{a^2 + b^2}$ по теореме Пифагора. Перетащите концы — длина пересчитывается.

Угол с вершиной и концами сторон в узлах сетки — как в заданиях ОГЭ. Из конца одной стороны опустите перпендикуляр на другую — на ту, что идёт по линии сетки: выйдет прямоугольный треугольник, и $\operatorname{tg}\angle AOB = \frac{AH}{OH}$ — противолежащий катет делить на прилежащий, оба считаются по клеткам. Перетащите точки — тангенс пересчитывается.

Восемь углов при пересечении двух прямых секущей. Когда прямые параллельны, соответственные и накрест лежащие углы равны, а односторонние в сумме дают 180°. Наклоните одну прямую — и все равенства ломаются разом.

Квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и классическое доказательство: четыре таких треугольника в квадрате со стороной $a + b$ оставляют свободным либо квадрат $c^2$, либо квадраты $a^2$ и $b^2$.

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция строятся по своим размерам. Для каждого — свойства, диагонали и площадь по всем подходящим формулам: $ah$, $ab\sin\alpha$, $\frac{d_1 d_2}{2}$, $\frac{a + b}{2}h$.

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает подобный треугольник: все стороны уменьшаются в $k$ раз, площадь — в $k^2$ раз, а стороны угла делятся в одном отношении.

Отношения сторон прямоугольного треугольника зависят только от острого угла: противолежащий катет к гипотенузе — синус, прилежащий — косинус, катет к катету — тангенс. Табличные значения при 30°, 45° и 60°.

Перетаскивайте вершины: теорема косинусов $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ — это теорема Пифагора с поправкой на непрямой угол, а по теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла — диаметр описанной окружности.

Четыре движения плоскости на одном флажке: осевая и центральная симметрия, поворот и параллельный перенос. Все они сохраняют расстояния, и только осевая симметрия переворачивает фигуру.

Задания 10 и 11 ЕГЭ базового уровня, с рисунком. Планиметрия: на какой высоте окно, если приставить лестницу, длина провода от столба к дому, тень от фонаря, путь на восток и на север, спицы колеса и стрелки часов, одна труба вместо двух, средняя опора крыши, ступени лестницы, экраны проектора. Стереометрия: объём детали по поднявшейся воде, уровень в сосуде с другим основанием, жидкость в цилиндре и в конусе, аквариум в литрах, кубики в коробке.

Какие из утверждений о треугольниках, четырёхугольниках, окружности и площадях верны — у каждого своя фигура, а с решением под ней видно: верно или нет и почему. Логические задачи: что следует из сравнений возрастов и ростов, что наверняка известно о двух кружках класса — с диаграммой отношений и кругами Эйлера.

Точка и её координаты: сначала шаги по оси Ox, потом по оси Oy. Четверть подсвечивается, а точки, симметричные относительно осей и начала координат, показывают, как меняются знаки.

Перетаскивайте векторы и смотрите правило треугольника и параллелограмма, разность и скалярное произведение с углом между векторами — координаты и длины считаются на ходу.

Прямая через две точки и окружность по центру и точке на ней. Уравнения пишутся сами, а точки пересечения — их общие решения — отмечаются на графике; бывает две, одна или ни одной.

Где прямая пересекает параболу, кубическую параболу, синусоиду, экспоненту или логарифм: абсциссы общих точек — корни уравнения $f(x) = kx + b$.

Плоскость $ax + by + cz = d$ перпендикулярна нормали $\vec n = (a; b; c)$. Расстояние от точки до неё — длина перпендикуляра $\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Угол прямой с плоскостью — дополнение до $90^\circ$ угла между прямой и нормалью, поэтому $\sin\varphi = \frac{|\vec n \cdot \vec a|}{|\vec n|\,|\vec a|}$; угол двух плоскостей равен углу между нормалями, $\cos\varphi = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$.

Свойства степеней с целым показателем и арифметического корня: произведение и частное степеней с одним основанием, степень произведения, произведение и частное корней, разность квадратов. Каждый пример — по шагам.

Линейные, квадратные и дробные уравнения; показательные, логарифмические, иррациональные и простейшие тригонометрические. Каждый пример решается по шагам — с ОДЗ и проверкой, где они нужны, — а на чертеже корни видны там, где пересекаются графики левой и правой частей.

Вторая часть ОГЭ по алгебре, как в банке: биквадратное уравнение, разложение группировкой и общим множителем, сумма квадратов, равная нулю, замена $t = \frac1x$, корень по обе стороны знака равенства; неравенства с квадратом и дробью; системы сложением, подстановкой и через $x^2 + y^2$ и $xy$; дробь со степенями и значение выражения по отношению. Ответ — корни, промежутки или пары $(x;\ y)$ — проверяется сразу.

Неравенство второй части профильного ЕГЭ. Показательные — квадратные и дробные относительно $t = a^x$: корень $t \le 0$ отбрасывается, потому что $a^x > 0$. Логарифмические — логарифм квадратного трёхчлена против числа, квадратное относительно $\log_a x$, сумма логарифмов: ответ решает ОДЗ, а основание меньше 1 меняет знак. Ответ записывается промежутками и проверяется сразу.

Задание 18 ЕГЭ базового уровня: четыре неравенства и четыре решения — показательные с основаниями $a$ и $\frac1a$, логарифмические, дробное и произведение скобок, квадрат против числа; или четыре точки на прямой и четыре числа, выраженные через $m = \sqrt k$. Каждому — своё, ответ — номера подряд.

Задача с параметром второй части профильного ЕГЭ: при каких $a$ уравнение имеет ровно столько решений. Модуль квадратного трёхчлена от $|x|$ против прямой $y = a$ — число решений меняется в нуле, на высоте «горба» и на уровне $y(0)$; корни $a + s$ и $a + t$ квадратного уравнения на отрезке — ровно один, оба, хотя бы один. Ответ — значения $a$ промежутками, проверяется сразу.

Задание 21 ЕГЭ базового уровня: улитка на дереве, палка с цветными линиями, грибы в корзине, викторина со штрафами, колодец с растущей платой, подъезд и этаж, договоры между странами, обменный пункт, бактерии в пробирке, прямоугольник из четырёх, настольный теннис втроём. Числа каждый раз новые, а решение — рассуждение без длинных вычислений.

Навстречу и туда-обратно, по реке против течения и по течению, трубы и совместная работа, растворы и сплавы; проценты от числа, число по проценту, повышение и снижение цены. У каждой задачи — схема: отрезок пути, река, резервуары, сосуды, полоса в 100%, — а решение по шагам начинается с того, что принять за x.

Подставить в формулу или выразить из неё другую величину: мощность тока, шкалы температур, площади, стоимость поездки. Прикладные задачи ЕГЭ — мяч, выручка, нагреватель, торможение, камнеметательная машина — сводятся к квадратному уравнению или неравенству. С решением строится график зависимости: ответ — там, где кривая встречает заданный уровень.

Задания ЕГЭ базового уровня о жизни, а не о формулах: сколько пачек хватит на лагерь и сколько флаконов купишь со скидкой — с округлением в нужную сторону; какое значение подходит массе кошки, а какое — слону; какой перевозчик, фирма или тариф обойдётся дешевле. Величины сравнивают по порядку — что больше чего во много раз; варианты считают все до одного и выбирают наименьший.

Задание 3 ЕГЭ базового уровня: число, прочитанное по рисунку. Температура и осадки по дням — жирные точки, соединённые линией; цена металла на бирже по рабочим дням; столбчатая диаграмма по месяцам; место страны среди десяти по длине столбца; разогрев двигателя, давление на высоте, крутящий момент — по графику. Все нужные значения лежат на линиях сетки.

Задание 7 ЕГЭ базового уровня: четыре точки или четыре промежутка — и четыре характеристики, каждой своя. В точках K, L, M, N на оси — знаки функции и её производной по графику; касательные в этих точках — значения производной: круче касательная — больше модуль. Пульс гимнаста, скорость автобуса, температура за сутки: на каком промежутке росло, падало, сначала росло, а затем падало.

Практический блок ОГЭ на одном плане квартиры: какой цифрой обозначено помещение, сколько упаковок плитки уйдёт на пол, площадь комнаты, на сколько процентов одна комната больше другой, какой тариф на интернет дешевле. Клетка плана — 0,4, 0,5 или 0,6 м; планы и вопросы меняются от задачи к задаче, а в пробнике пять номеров спрашивают об одном плане.

Практический блок ОГЭ на плане дачного участка: дом, гараж, сарай, баня, огород с теплицей, яблони и дорожки из плитки. Какой цифрой обозначен объект, сколько упаковок плитки ушло на дорожки, какую площадь занимает постройка, какое расстояние между двумя постройками и через сколько часов газовое отопление окупит разницу с электрическим.

Практический блок ОГЭ о маркировке шин: 195/65 R15 — ширина шины, высота боковины в процентах от ширины и диаметр диска в дюймах. Какая шина подходит по таблице, какой диаметр у колеса, какая высота боковины, на сколько вырастет колесо с другими шинами и на сколько процентов дальше уедет автомобиль за один оборот колеса.

Практический блок ОГЭ о бане с парным отделением: три печи — две дровяные и электрическая — с объёмом, который они прогревают, массой и ценой. Номера печей по массам, объём парного отделения, на сколько дровяная печь дешевле электрической с кабелем, сколько вагонки уйдёт на стены и каков радиус арки кожуха печи.

Практический блок ОГЭ о форматах бумаги: лист А0 — квадратный метр, каждый следующий формат — половина предыдущего, и все листы подобны. Какой формат в какой строке таблицы, сколько листов одного формата выходит из другого, площадь листа, масса пачки по плотности бумаги и размер шрифта при переходе на другой формат.

Практический блок ОГЭ о дороге между деревнями: шоссе с поворотом под прямым углом, прямая лесная дорожка и грунтовая дорога, у каждой своя скорость. Какая деревня какой цифрой обозначена, сколько километров по шоссе, расстояние по прямой по теореме Пифагора, время по лесной дорожке и самый быстрый маршрут.

Практический блок ОГЭ о двухтарифном счётчике: дневной и ночной тарифы, однотарифный для сравнения и показания счётчика в начале и в конце месяца. Расход за месяц днём или ночью, оплата по двум тарифам и по одному, на сколько процентов ночной тариф дешевле и сколько даст перенос стирки на ночь.

Практический блок ОГЭ о страховом полисе: стоимость — базовый тариф, умноженный на коэффициенты. Класс водителя по таблице бонус-малус после лет с авариями и без, коэффициент КБМ, коэффициент возраста и стажа, стоимость полиса в нужном году и на сколько она изменилась за год.

Каждое уравнение $ax + by = c$ — прямая, решение системы — их общая точка. Меняйте коэффициенты: прямые пересекаются, становятся параллельными (решений нет) или совпадают (решений бесконечно много).

Члены прогрессии — точки $(n; a_n)$: у арифметической они лежат на прямой, у геометрической — на показательной кривой. Сумма первых $n$ членов — общая высота столбиков с учётом знака.

Решение неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ видно по параболе: где она выше оси, там и ответ. Двигайте вершину и меняйте знак — отдельно разобраны случаи одного корня и отсутствия корней.

Соберите неравенство из множителей $(x - a)$: возведите в квадрат, перенесите в знаменатель, переверните в $(a - x)$. Знаки на промежутках, «змейка» и ответ промежутками пересчитываются сразу.

Логарифм как показатель степени, сумма и разность логарифмов, основное логарифмическое тождество и переход к новому основанию; формулы приведения, синус двойного угла и значение одной функции угла по другой. Пример разбирается по шагам.

Две схемы задачи ЕГЭ №16 на одних и тех же деньгах: равные платежи или долг, уменьшающийся каждый период на одну и ту же сумму. Таблица выплат, столбики долга и платежей и переплата по обеим схемам.

Прямая $y = kx + b$ через две узловые точки, которые можно двигать. Ступенька между ними показывает $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$, а $b$ — точку пересечения с осью Oy.

График $y = a f(k(x - h)) + c$ из графика $y = f(x)$: каждый параметр — один шаг, сдвиг, растяжение или отражение. Шаги перечислены по порядку, а одна точка прослежена от старого графика к новому.

Постройте график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, меняя коэффициенты, и определите координаты вершины и корни уравнения.

Сравните поведение линейной и квадратичной функций, отображённых одновременно на одной координатной плоскости разными цветами. Найдите точки их пересечения, меняя параметры.

График $y = a|x - h| + k$ — «галочка» с вершиной в точке $(h; k)$. Параметры сдвигают и растягивают её, а знак $a$ переворачивает ветви вниз.

Двигайте прямую $y = m$ вдоль графика с модулем, выколотой точкой или скачком и считайте общие точки. Их число меняется только на особых уровнях — вершинах, изломах и дырках. Так решается вторая часть задания ОГЭ №22 и графический способ в задачах с параметром.

Меняйте коэффициенты кубической функции $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ и наблюдайте, как они влияют на изгиб графика и поведение на бесконечности.

Меняйте параметры функции $y = \frac{a}{x - h} + k$ и смотрите, как сдвигаются вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Меняйте основание и коэффициенты показательной функции $y = a \cdot b^x + c$, чтобы увидеть, как они влияют на рост графика и его горизонтальную асимптоту.

Меняйте основание и сдвиги функции $y = a \log_b(x - h) + k$: смотрите, где проходит вертикальная асимптота и почему график определён только справа от неё.

Изучите, как амплитуда, период, фаза и вертикальный сдвиг влияют на график синусоидальной функции.

Двигайте точку по единичной окружности и смотрите, как её координаты — косинус и синус угла — рисуют синусоиду и косинусоиду. Тангенс виден на линии тангенсов.

Серия корней уравнения $\sin x = a$, $\cos x = a$ или $\operatorname{tg} x = a$ — точки на окружности, а отрезок намотан на неё дугой. Корни на отрезке — точки под дугой, как в пункте б) задания 14 профильного ЕГЭ. Уравнения этого задания, как в банке и демоверсии: двойной угол и формулы приведения, формула сложения, $\sin 2x$ и общий множитель, однородное, показательное с заменой, дробь и корень с ОДЗ.

Ведите точку по графику: касательная и её уравнение пересчитываются на ходу, а рядом график производной. Где $f'(x) > 0$, функция возрастает, где $f'$ меняет знак — экстремум.

Задайте отрезок и смотрите, как сумма прямоугольников приближается к интегралу. Под осью $Ox$ интеграл отрицательный, а площадь — нет.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке достигаются на его концах или там, где $f'(x) = 0$. Двигайте концы отрезка и смотрите, как ответ переходит с вершины графика на конец и обратно.

Задание 17 профильного ЕГЭ с 2027 года: величину из жизни записать функцией и найти, где она наибольшая или наименьшая. Мощность нагрузки генератора и качка корабля — как в демоверсии; коробка из листа, бак из жести, забор у стены, экономичная скорость катера, путь к пункту на берегу, кабель через реку, концентрация лекарства, автомобили у перекрёстка, прибыль при спросе от цены. С решением строится график зависимости, ответ проверяется сразу.

У функции не одна первообразная, а целое семейство $F(x) + C$ — одна кривая, сдвинутая вверх и вниз. Точка, через которую проходит график, выбирает одну из них.

Площадь фигуры между параболой и прямой: пределы интегрирования — точки пересечения, под интегралом — верхний график минус нижний. Ответ сходится с формулой $|a|(x_2 - x_1)^3/6$.

Фигура под графиком вращается вокруг оси Ox: каждое сечение — круг радиуса $f(x)$, и объём равен $\pi \int f^2(x)\,dx$. Из прямой получается конус, из константы — цилиндр, из полуокружности — шар.

Выберите две прямые через вершины куба: если они скрещиваются, угол между ними — угол между их направлениями, а расстояние — длина общего перпендикуляра, который рисуется между ближайшими точками.

Угол между плоскостями измеряется линейным углом: по перпендикуляру к общему ребру в каждой плоскости. В кубе — плоскость через ребро и точку на противоположном ребре, в правильной пирамиде — боковая грань и основание.

Перпендикуляр к плоскости, наклонная и её проекция. Прямая в плоскости перпендикулярна наклонной ровно тогда, когда она перпендикулярна проекции, — поверните прямую и увидите оба угла сразу.

Вращайте куб и меняйте длину ребра, чтобы увидеть, как это влияет на объём и площадь поверхности фигуры.

Меняйте радиус основания и высоту цилиндра, вращайте фигуру и наблюдайте за изменением объёма и площади поверхности.

Меняйте длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда и наблюдайте за изменением объёма, площади поверхности и диагонали.

Меняйте радиус основания и высоту конуса, вращайте фигуру и наблюдайте за изменением объёма, площади поверхности и образующей.

Меняйте сторону основания и высоту пирамиды и наблюдайте за изменением объёма и площади поверхности.

Меняйте радиус сферы и наблюдайте за изменением объёма и площади поверхности.

Меняйте число сторон основания, радиус и высоту правильной призмы и наблюдайте, как растёт число вершин и площадь поверхности.

Четыре равносторонних треугольника. Меняйте ребро и смотрите, как растут объём и площадь поверхности — объём как куб ребра, площадь как квадрат.

Восемь равносторонних треугольников — две правильные пирамиды, сложенные основаниями. Отсюда и формула объёма.

Составное тело: объём — сумма объёмов частей, а в площадь поверхности не входит общий круг, по которому они соединены.

Теорема Архимеда: объём шара — ровно две трети объёма описанного цилиндра, и площадь поверхности — тоже две трети.

Конус, у которого срезали верхушку. Его объём — разность объёмов большого и отрезанного малого конуса; формула показывает это с текущими числами.

Многогранник и его развёртка рядом: в каждой грани подписана её площадь, а их сумма — это и есть площадь поверхности. Куб, параллелепипед, пирамида, призма, тетраэдр, октаэдр.

Выберите фигуру, задайте её размеры и постройте плоскость сечения по трём точкам на поверхности — увидите, какая фигура получается в сечении.

Все исходы двух-трёх монет или двух кубиков — клетки таблицы, благоприятные закрашены, и $P = m/n$. Рядом тот же опыт можно бросить тысячу раз и посмотреть, как частота подбирается к вероятности.

Опыт в два этапа: вероятности перемножаются вдоль ветки и складываются по веткам, ведущим к событию. То же самое — площади в квадрате. Формула Байеса отвечает, откуда взялся брак.

Ряд чисел — столбики, верх каждого можно перетащить. Среднее — уровень, на котором столбики выровнялись бы, медиана — середина упорядоченного ряда, мода — самое частое значение. Один выброс сильно сдвигает среднее и почти не трогает медиану.

Правило умножения в клетках: $n$ способов для первого выбора, $n - 1$ для второго… Размещения помнят порядок, сочетания — нет, и каждое сочетание — это $k!$ размещений. Небольшие случаи перечислены целиком.

Таблица распределения и её столбцы: недостающая вероятность — то, чего не хватает до 1; математическое ожидание — точка, где столбцы уравновешиваются; дисперсия — $E(X^2) - E(X)^2$. Вероятность события по таблице, ожидание и дисперсия величины $aX + b$, число успехов в $n$ испытаниях: $E = np$, $D = npq$.