График функции с модулем

Модуль

$|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$. Модуль не бывает отрицательным; $|x - a|$ — расстояние между точками $x$ и $a$ на прямой.

График $y = a|x - h| + k$

• Точка излома — $(h; k)$.
• Ветви — лучи с угловыми коэффициентами $a$ (справа) и $-a$ (слева).
• При $a > 0$ «галочка» смотрит вверх и $k$ — наименьшее значение, при $a < 0$ — вниз и $k$ — наибольшее.

Графики сложнее

• Найдите нули выражений под модулем — они делят прямую на промежутки.
• На каждом промежутке раскройте модули со своими знаками и постройте свой кусок.
• $y = |f(x)|$ — отразите вверх части графика $f$ ниже оси $Ox$.

Уравнения с модулем

• $|f(x)| = a$: при $a > 0$ — $f(x) = a$ или $f(x) = -a$; при $a < 0$ решений нет.
• $|f(x)| = g(x)$: $f(x) = \pm g(x)$ при условии $g(x) \ge 0$.

Частая ошибка

Раскрывают модуль без учёта знака выражения: $|x - 3| = 3 - x$ при $x < 3$.