Преобразования графиков: сдвиги, растяжения, отражения

8–11 класссредне

Преобразование графика

График $y = a f(k(x - h)) + c$ из графика $y = f(x)$ : каждый параметр — один шаг, сдвиг, растяжение или отражение. Шаги перечислены по порядку, а одна точка прослежена от старого графика к новому.

ЕГЭ профильфункциипреобразования графиковсдвиграстяжение

Тренировать: Преобразование графика

$y = (x - 2)^2 - 1$

a — растяжение по Oy

k — сжатие по Ox

h — сдвиг по Ox

c — сдвиг по Oy

Из графика $y = x^2$ по шагам:

сдвиг вправо на 2
сдвиг вниз на 1

Оранжевая точка — куда переехала точка $(0;\ 0)$ исходного графика.

Теория

Сдвиги

$y = f(x) + c$ — график сдвигается вверх на $c$ (при $c < 0$ — вниз).
$y = f(x - h)$ — вправо на $h$ (при $h < 0$ — влево): внутри скобки знак «наоборот».

Растяжения и отражения

$y = af(x)$ — растяжение от оси $Ox$ в $a$ раз (при $0 < a < 1$ — сжатие).
$y = f(kx)$ — сжатие к оси $Oy$ в $k$ раз (при $0 < k < 1$ — растяжение).
$y = -f(x)$ — отражение относительно $Ox$ ; $y = f(-x)$ — относительно $Oy$ .
$y = |f(x)|$ — части графика ниже $Ox$ отражаются вверх.
$y = f(|x|)$ — правая половина остаётся и отражается налево вместо левой.

Порядок шагов

Для $y = af(k(x - h)) + c$ : сжатие $f(kx)$ , затем сдвиг на $h$ по горизонтали, затем растяжение в $a$ раз (и отражение при $a < 0$ ), затем сдвиг на $c$ по вертикали. Точка $(x_0; y_0)$ графика $f$ переходит в точку $\left(\frac{x_0}{k} + h;\ ay_0 + c\right)$ .

Частые ошибки

$y = f(x + 2)$ сдвигают вправо, а нужно влево.
В $f(2x - 4)$ видят сдвиг на 4, а это $f(2(x - 2))$ — сдвиг на 2.