Вершина и корни параболы

Вершина и ось

• $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = f(x_0)$ или $y_0 = -\frac{D}{4a}$.
• Ось симметрии — прямая $x = x_0$.
• При $a > 0$ ветви вверх и в вершине наименьшее значение, при $a < 0$ — вниз и наибольшее.

Нули

• $D = b^2 - 4ac$. При $D > 0$ два нуля $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, при $D = 0$ парабола касается оси в вершине, при $D < 0$ нулей нет.
• Теорема Виета: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1x_2 = \frac{c}{a}$.
• Вершина — посередине между нулями: $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

Три формы записи

• Общая: $y = ax^2 + bx + c$; $c$ — точка пересечения с $Oy$, $(0; c)$.
• Через вершину: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ — парабола $y = ax^2$, сдвинутая вершиной в $(x_0; y_0)$.
• Через нули: $y = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Коэффициенты по графику

Знак $a$ — по направлению ветвей; $c$ — где парабола пересекает $Oy$; знак $b$ — по вершине: если она правее $Oy$, у $a$ и $b$ разные знаки, если левее — одинаковые.

Частые ошибки

• Теряют минус в $-\frac{b}{2a}$.
• Делят на 2, а не на $2a$.