Геометрия
Геометрия
← Каталог задач

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

10–11 класссредне

Производная и интеграл

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке достигаются на его концах или там, где f′(x)=0f'(x) = 0. Двигайте концы отрезка и смотрите, как ответ переходит с вершины графика на конец и обратно.

ЕГЭ профильпроизводнаяэкстремумынаибольшее значение
Тренировать: Наибольшее и наименьшее на отрезке

x∈[−4; 3]x \in [-4;\ 3]

  • f(−4)=−4f(-4) = -4конец
  • f(−2)=4f(-2) = 4максимум
  • f(2)=−4f(2) = -4минимум
  • f(3)=−2,25f(3) = -2{,}25конец

max⁡=4\max = 4

min⁡=−4\min = -4

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются либо на его концах, либо в точках, где f′(x) = 0. Сравните эти несколько чисел — и всё. Концы отрезка перетаскиваются.

Теория

Алгоритм

  • Найдите f′(x)f'(x).
  • Решите f′(x)=0f'(x) = 0 и найдите точки, где f′f' не существует.
  • Оставьте те, что лежат на отрезке [a;b][a; b].
  • Вычислите ff в этих точках и на концах, f(a)f(a) и f(b)f(b).
  • Выберите из этих чисел наибольшее и наименьшее.

Когда можно короче

  • Функция монотонна на отрезке — ответ на концах.
  • На отрезке одна точка экстремума, и это максимум — в ней наибольшее значение; минимум — наименьшее.

Частые ошибки

  • Путают точку x0x_0 и значение f(x0)f(x_0) — ЕГЭ спрашивает то одно, то другое.
  • Берут критическую точку вне отрезка.
  • Забывают про концы отрезка.

Смежные темы