Форма кубической функции

Поведение на краях

При $a > 0$ $y \to +\infty$ при $x \to +\infty$ и $y \to -\infty$ при $x \to -\infty$; при $a < 0$ — наоборот. Поэтому у кубической функции всегда есть хотя бы один нуль.

Экстремумы

• $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.
• Если у производной два корня ($b^2 - 3ac > 0$) — у функции есть максимум и минимум; при $a > 0$ сначала максимум, потом минимум.
• Если $b^2 - 3ac \le 0$ — функция монотонна на всей прямой.

Симметрия и нули

• График симметричен относительно точки перегиба $x = -\frac{b}{3a}$, где меняется направление изгиба; $y = x^3$ — нечётная функция.
• Нулей от одного до трёх. Если известен корень $x_1$, многочлен делится на $(x - x_1)$ и остаётся квадратный трёхчлен.

Частая ошибка

Точку, где $y' = 0$, сразу считают экстремумом. У $y = x^3$ в нуле производная равна нулю, но знак не меняет — экстремума нет.