Прямая и график функции

9–11 класссредне

Векторы и координаты

Где прямая пересекает параболу, кубическую параболу, синусоиду, экспоненту или логарифм: абсциссы общих точек — корни уравнения $f(x) = kx + b$ .

ОГЭЕГЭ профильметод координатпересечение графиковуравнения

Тренировать: Прямая и парабола Тренировать: Прямая и кубическая Тренировать: Синусоида и прямая Тренировать: Прямая и показательная Тренировать: Прямая и логарифм

$\text{прямая: } y = 0{,}56x - 0{,}22$

$\text{кривая: } y = ax^2 + bx + c$

Нет пересечений.

Абсциссы точек пересечения — корни уравнения f(x) = kx + b.

Теория

Метод

Общие точки графиков $y = f(x)$ и $y = kx + b$ — решения системы из двух уравнений; их абсциссы — корни уравнения $f(x) = kx + b$ , ординаты находят подстановкой. Сколько общих точек, столько и корней.

Сколько бывает точек

Парабола — квадратное уравнение, не больше двух точек.
Кубическая парабола — от одной до трёх.
Синусоида $y = \sin x$ : горизонтальная прямая $y = m$ при $|m| \le 1$ встречает её бесконечно много раз, наклонная — конечное число раз.
Экспонента и логарифм — выпуклые кривые: с прямой не больше двух общих точек.

Касание

Прямая касается графика в точке $x_0$ , если там совпадают и значения, и наклоны: $f(x_0) = kx_0 + b$ и $f'(x_0) = k$ .

Когда формулы нет

Уравнение вроде $2^x = x + 3$ формулой не решается: корни видны на графике, а проверяются подстановкой.

Частая ошибка

Читают точку пересечения на глаз и не проверяют её подстановкой в оба уравнения.