Уравнения: корень — где пересекаются графики

Общий план

Корень — значение переменной, при котором равенство верно. Уравнение решают преобразованиями, которые не меняют набор корней. Возведение в квадрат, умножение на выражение с переменной, снятие логарифмов могут добавить лишние корни — тогда нужны ОДЗ или проверка.

Линейные, квадратные, дробные

• Линейное $ax = b$: $x = \frac{b}{a}$ при $a \ne 0$.
• Квадратное $ax^2 + bx + c = 0$: $D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$; при $D < 0$ корней нет.
• Теорема Виета: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.
• Неполные: $ax^2 + bx = 0$ — вынести $x$: $x(ax + b) = 0$; $ax^2 + c = 0$ — $x^2 = -\frac{c}{a}$.
• Дробное $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$: $P(x) = 0$ и $Q(x) \ne 0$.

Показательные, логарифмические, иррациональные

• $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ равносильно $f(x) = g(x)$ при $a > 0$, $a \ne 1$.
• $\log_a f(x) = b$ равносильно $f(x) = a^b$; $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ — это $f(x) = g(x)$ при $f(x) > 0$.
• $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно $f(x) = g^2(x)$ при $g(x) \ge 0$.

Простейшие тригонометрические

• $\sin x = a$, $|a| \le 1$: $x = (-1)^n\arcsin a + \pi n$.
• $\cos x = a$, $|a| \le 1$: $x = \pm\arccos a + 2\pi n$.
• $\operatorname{tg} x = a$: $x = \operatorname{arctg} a + \pi n$; везде $n \in \mathbb{Z}$.

Графический смысл

Корни уравнения $f(x) = g(x)$ — абсциссы точек пересечения графиков $y = f(x)$ и $y = g(x)$. По чертежу видно, сколько корней и где их искать.

Частые ошибки

• Делят обе части на выражение с $x$ и теряют корень, при котором оно равно нулю, — вместо этого выносите за скобки.
• После возведения в квадрат не проверяют корни.
• В ЕГЭ при нескольких корнях просят записать один — меньший или больший; читайте условие до конца.