Метод интервалов

9–11 класссредне

Неравенство

Соберите неравенство из множителей $(x - a)$ : возведите в квадрат, перенесите в знаменатель, переверните в $(a - x)$ . Знаки на промежутках, «змейка» и ответ промежутками пересчитываются сразу.

ОГЭЕГЭ профильнеравенстваметод интерваловдробно-рациональное неравенство

Тренировать: Метод интервалов Тренировать: Квадратное неравенство

$\frac{(x + 3)(x - 1)^2}{x - 4} \ge 0$

$x \in (-\infty;\ -3] \cup \{1\} \cup (4;\ +\infty)$

1. Отмечаем нули числителя ( $-3;\ 1$ ) — закрашенные, неравенство нестрогое.

2. Нули знаменателя ( $4$ ) всегда выколоты: на ноль делить нельзя.

3. Знак на правом промежутке — подставляем большое x. Дальше знак меняется при переходе через каждую точку, кроме тех, где множитель в чётной степени.

4. В ответ идут промежутки с нужным знаком и закрашенные точки.

(x + 3)

-3

(x - 1)^2

(x - 4)

Теория

Алгоритм

Приведите неравенство к виду, где справа ноль, а слева дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$ или произведение.
Разложите числитель и знаменатель на множители вида $(x - a)$ .
Отметьте на прямой нули числителя (закрашенные при нестрогом знаке) и нули знаменателя (всегда выколотые).
На крайнем правом промежутке знак «плюс», если старшие коэффициенты всех множителей положительны.
Двигаясь влево, меняйте знак при переходе через корень нечётной кратности и сохраняйте — через корень чётной.
Выберите промежутки нужного знака.

Преобразования

Множитель $(a - x)$ замените на $-(x - a)$ и смените знак неравенства.
Всегда положительные множители, например $x^2 + 1$ , можно отбросить.
Квадрат $(x - a)^2$ знак не меняет, но $x = a$ — решение нестрогого неравенства и выпадает из строгого.

Частые ошибки

Умножают на знаменатель, не зная его знака, — так теряют или добавляют промежутки.
Закрашивают нуль знаменателя.
Расставляют знаки, не получив сначала ноль справа.

Метод интервалов

Теория

Алгоритм

Преобразования

Частые ошибки

Смежные темы