Асимптоты дробно-рациональной функции

Гипербола $y = \frac{k}{x}$

Две ветви: при $k > 0$ в I и III четвертях, при $k < 0$ — во II и IV. Асимптоты — оси координат. Функция монотонна на каждом из промежутков $x < 0$ и $x > 0$, но не на всей области определения.

Сдвинутая гипербола

• $y = \frac{a}{x - h} + k$ — гипербола $y = \frac{a}{x}$, сдвинутая на $h$ вправо и на $k$ вверх.
• Вертикальная асимптота $x = h$ — там знаменатель равен нулю.
• Горизонтальная асимптота $y = k$ — к ней график приближается при $x \to \pm\infty$.
• Центр симметрии — точка $(h; k)$; область определения $x \ne h$, область значений $y \ne k$.

Как привести к этому виду

Дробь $\frac{px + q}{x - h}$ делением приводится к $p + \frac{q + ph}{x - h}$: асимптоты $x = h$ и $y = p$.

Пересечения с осями

С $Oy$ — подставьте $x = 0$. С $Ox$ — где числитель равен нулю, а знаменатель нет.

Частые ошибки

• Путают знак: у $y = \frac{1}{x + 2}$ асимптота $x = -2$.
• Ищут точку пересечения графика с его асимптотой — её нет.