Задача с параметром: прямая y = m и график

9–11 класссложно

Задача с параметром

Двигайте прямую $y = m$ вдоль графика с модулем, выколотой точкой или скачком и считайте общие точки. Их число меняется только на особых уровнях — вершинах, изломах и дырках. Так решается вторая часть задания ОГЭ №22 и графический способ в задачах с параметром.

ОГЭЕГЭ профильпараметрмодулькусочная функциячисло решений

Тренировать: Параметр: прямая y = m и график

$y = x^2 - 4|x| + 3$

Прямая $y = 1$ : 4 общие точки

Число общих точек при каждом m

Число точек меняется только на особых уровнях: вершины, изломы, выколотые точки и концы скачков. Ответ «ровно k точек» — это строки с нужным числом справа.

Теория

Идея

Число решений уравнения $f(x) = m$ равно числу общих точек графика $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = m$ . Ведите прямую снизу вверх и отмечайте уровни, где число точек меняется.

Особые уровни

Вершины и изломы — прямая проходит через угол графика.
Выколотые точки — на этом уровне одна общая точка пропадает.
Концы лучей и скачки кусочной функции.
Горизонтальные асимптоты — график к ним приближается, но не достигает.

Задание ОГЭ №22

Упростите формулу; если сократили дробь — запомните выколотую точку, где знаменатель равен нулю.
Постройте график, раскрыв модули по промежуткам.
Найдите $m$ , при которых прямая $y = m$ имеет с графиком нужное число общих точек.
Если прямая $y = kx$ , она вращается вокруг начала координат; особые положения — через изломы и выколотые точки.

Частые ошибки

Забывают выколоть точку после сокращения.
В ответ пишут значения $x$ , а нужны значения параметра.
Не проверяют, сколько точек именно на особом уровне.