Касательная, возрастание и экстремумы

Смысл производной

• Геометрический: $f'(x_0) = k = \operatorname{tg}\alpha$ — угловой коэффициент касательной в точке $x_0$, $\alpha$ — её угол с осью $Ox$. По клеткам: $f'(x_0) = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ для двух узлов на касательной.
• Физический: скорость — производная координаты по времени, $v(t) = s'(t)$; ускорение — производная скорости.

Уравнение касательной

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Касательная параллельна прямой $y = kx + b$, когда $f'(x_0) = k$.

Монотонность и экстремумы

• $f'(x) > 0$ на промежутке — функция возрастает, $f'(x) < 0$ — убывает.
• Производная меняет знак с «+» на «−» — точка максимума, с «−» на «+» — минимума.
• $f'(x_0) = 0$ — касательная горизонтальна, но экстремума может и не быть.

Таблица и правила

• $(C)' = 0$, $(x^n)' = nx^{n - 1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.
• $(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x\ln a$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
• $(u + v)' = u' + v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, $(f(kx + b))' = kf'(kx + b)$.

График $f$ или график $f'$?

• По графику $f$: производная положительна там, где график идёт вверх, и равна нулю в его вершинах.
• По графику $f'$: функция возрастает там, где график $f'$ выше оси; экстремумы — в нулях $f'$, где она меняет знак.

Частые ошибки

• По графику $f'$ ищут экстремумы в его вершинах, а они в его нулях.
• Ошибаются со знаком $k$ у касательной, идущей вниз.