Первообразная: семейство F(x) + C

11 класссредне

Производная и интеграл

У функции не одна первообразная, а целое семейство $F(x) + C$ — одна кривая, сдвинутая вверх и вниз. Точка, через которую проходит график, выбирает одну из них.

ЕГЭ профильпервообразнаяинтегралначала анализа

Тренировать: Первообразная через точку

$f(x) = 3x^2 - 3$

$F(x) = F_0(x) + C,\quad F_0(x) = x^3 - 3x$

$M(1;\ 0)$

$C = 0 - F_0(1) = 2$

$F(x) = x^3 - 3x + 2$

Серые кривые — та же первообразная с другими C: они получаются друг из друга сдвигом вверх и вниз, и наклон у всех в каждой точке одинаковый — это f(x). Точка M выбирает одну из них.

Теория

Определение

$F$ — первообразная функции $f$ на промежутке, если $F'(x) = f(x)$ . Все первообразные — $F(x) + C$ : графики сдвинуты один относительно другого вдоль $Oy$ .

Таблица

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ при $n \ne -1$ ; $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$ .
$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ , $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ .
$\int e^x\,dx = e^x + C$ .
$\int f(kx + b)\,dx = \frac{1}{k}F(kx + b) + C$ .

Через данную точку

Найдите общий вид $F(x) + C$ и подставьте точку $(x_0; y_0)$ : $C = y_0 - F(x_0)$ .

Связь графиков

$F$ возрастает там, где $f > 0$ , и убывает, где $f < 0$ .
Экстремумы $F$ — нули $f$ , где она меняет знак.
$F(b) - F(a)$ — площадь под графиком $f$ на $[a; b]$ .

Частые ошибки

Забывают $+ C$ .
Дифференцируют вместо интегрирования: первообразная $\sin x$ — это $-\cos x$ , а не $\cos x$ .