Площадь под графиком и интеграл

Определённый интеграл

Предел сумм площадей прямоугольников $\sum f(x_i)\,\Delta x$, когда разбиение отрезка становится всё мельче. Считают по формуле Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, где $F$ — первообразная $f$.

Площадь под графиком

Если $f(x) \ge 0$ на $[a; b]$, площадь криволинейной трапеции $S = \int_a^b f(x)\,dx$. Там, где $f(x) < 0$, интеграл отрицателен, а площадь — нет: $S = \int_a^b |f(x)|\,dx$.

Свойства

• $\int_a^b (f + g)\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx$, $\int_a^b kf\,dx = k\int_a^b f\,dx$.
• $\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$; $\int_a^a f\,dx = 0$.

Задание ЕГЭ по графику

Если $F$ — первообразная $f$, то $F(b) - F(a)$ — площадь под графиком $f$ на $[a; b]$. Площадь по клеткам — сумма трапеций, прямоугольников и треугольников.

Частые ошибки

• Считают $F(a) - F(b)$ вместо $F(b) - F(a)$.
• Площадь части под осью берут со знаком минус.