Тело вращения: объём через интеграл

Формула

Фигура под графиком $y = f(x)$, $a \le x \le b$, вращается вокруг $Ox$. Сечение плоскостью, перпендикулярной оси, — круг площадью $\pi f^2(x)$, поэтому объём $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx$.

Проверка на знакомых телах

• $f(x) = r$ на $[0; h]$ — цилиндр: $V = \pi r^2h$.
• $f(x) = \frac{r}{h}x$ на $[0; h]$ — конус: $V = \frac13\pi r^2h$.
• $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ на $[-R; R]$ — шар: $V = \frac43\pi R^3$.

Между двумя графиками

Если вращается фигура между $f$ и $g$, где $f \ge g \ge 0$, получается тело с полостью: $V = \pi\int_a^b (f^2(x) - g^2(x))\,dx$.

Частые ошибки

• Интегрируют $f(x)$, а не $f^2(x)$.
• Теряют множитель $\pi$.
• Для тела с полостью берут $(f - g)^2$ вместо $f^2 - g^2$.