Сфера

Шар и сфера

Сфера — поверхность из всех точек на расстоянии $R$ от центра; шар — тело, которое она ограничивает.

Формулы

$V = \frac43\pi R^3$; $S = 4\pi R^2$ — ровно четыре площади большого круга.

Сечения

• Любое сечение шара плоскостью — круг.
• Если плоскость на расстоянии $d$ от центра, радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
• Сечение через центр — большой круг радиуса $R$.
• Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Изменение размеров

Радиус больше в $k$ раз — площадь сферы больше в $k^2$, объём шара — в $k^3$ раз.

Частые ошибки

• Путают $\frac43\pi R^3$ и $4\pi R^2$.
• Подставляют диаметр вместо радиуса.