Теорема Пифагора: доказательство без слов

8 класслегко

Планиметрия

Квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и классическое доказательство: четыре таких треугольника в квадрате со стороной $a + b$ оставляют свободным либо квадрат $c^2$ , либо квадраты $a^2$ и $b^2$ .

ОГЭЕГЭ базаЕГЭ профильтеорема Пифагорапрямоугольный треугольникплощадь

Тренировать: Теорема Пифагора

Катет a

Катет b

$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 = c^2$

$c = \sqrt{25} = 5$

3, 4, 5 — пифагорова тройка: все три стороны целые.

Две фигуры справа — одинаковые квадраты со стороной a + b, в каждом по четыре одинаковых треугольника. В первом незанятым остаётся квадрат c², во втором — квадраты a² и b². Площади равны, значит, a² + b² = c².

Теория

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$ . Отсюда катет: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .

Обратная теорема

Если $c^2 = a^2 + b^2$ , треугольник прямоугольный и прямой угол лежит против $c$ . Если $c^2 > a^2 + b^2$ , угол против $c$ тупой, если $c^2 < a^2 + b^2$ — острый.

Где она встречается

Диагональ прямоугольника $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ , квадрата $d = a\sqrt2$ .
Высота равностороннего треугольника $h = \frac{a\sqrt3}{2}$ ; высота равнобедренного — к основанию.
Расстояние между точками на плоскости и длина отрезка на клетчатой бумаге.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ .
Отрезок касательной из точки на расстоянии $d$ от центра: $\sqrt{d^2 - R^2}$ .

Ещё о прямоугольном треугольнике

Площадь $S = \frac{ab}{2}$ , высота к гипотенузе $h = \frac{ab}{c}$ .
Медиана к гипотенузе равна её половине.
Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы.

Пифагоровы тройки

$3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ и кратные им: $6, 8, 10$ ; $9, 12, 15$ . Узнав тройку, корень можно не извлекать.

Частые ошибки

Применяют к непрямоугольному треугольнику — там нужна теорема косинусов.
Ищут гипотенузу как разность квадратов, а катет — как сумму.