Теоремы синусов и косинусов

Теорема косинусов

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между сторонами $b$ и $c$. Нужна, когда известны две стороны и угол между ними (найти третью сторону) или три стороны (найти угол): $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Если $\cos\alpha < 0$, угол тупой.

Теорема синусов

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$. Нужна, когда известны сторона и два угла, две стороны и угол против одной из них, и для радиуса описанной окружности.

Тупые углы

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$. Например, $\cos 120^\circ = -\frac12$, $\sin 150^\circ = \frac12$.

Следствия

• Площадь: $S = \frac12 bc\sin\alpha = \frac{abc}{4R}$.
• Против большей стороны лежит больший угол.
• Медиана: $m_a = \frac12\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$.
• В параллелограмме $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Частые ошибки

• В теореме косинусов берут угол не между данными сторонами.
• По синусу угол находят однозначно, а он может быть острым или тупым: $\sin\alpha = \frac12$ — это $30^\circ$ или $150^\circ$.