Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике

8 класслегко

Планиметрия

Отношения сторон прямоугольного треугольника зависят только от острого угла: противолежащий катет к гипотенузе — синус, прилежащий — косинус, катет к катету — тангенс. Табличные значения при 30°, 45° и 60°.

ОГЭЕГЭ базаЕГЭ профильтригонометрияпрямоугольный треугольниксинускосинустангенс

Тренировать: Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике

Угол α°

Гипотенуза AB

BC = 4,59 · AC = 6,55 · AB = 8

$\sin\alpha = \frac{\color{#dc2626}{BC}}{\color{#16a34a}{AB}} = 0{,}574$

$\cos\alpha = \frac{\color{#2563eb}{AC}}{\color{#16a34a}{AB}} = 0{,}819$

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\color{#dc2626}{BC}}{\color{#2563eb}{AC}} = 0{,}7$

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе, тангенс — противолежащий к прилежащему. Меняйте гипотенузу: отношения не меняются. Попробуйте 30°, 45°, 60°.

Теория

Определения

Для острого угла $A$ прямоугольного треугольника с катетами $a$ (против $A$ ), $b$ и гипотенузой $c$ : $\sin A = \frac{a}{c}$ , $\cos A = \frac{b}{c}$ , $\operatorname{tg} A = \frac{a}{b}$ , $\operatorname{ctg} A = \frac{b}{a}$ .

Основные тождества

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ .
$\operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$ , $1 + \operatorname{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$ .
Синус одного острого угла равен косинусу другого: $\sin A = \cos(90^\circ - A)$ .

Табличные значения

$30^\circ$ : $\sin = \frac12$ , $\cos = \frac{\sqrt3}{2}$ , $\operatorname{tg} = \frac{\sqrt3}{3}$ .
$45^\circ$ : $\sin = \cos = \frac{\sqrt2}{2}$ , $\operatorname{tg} = 1$ .
$60^\circ$ : $\sin = \frac{\sqrt3}{2}$ , $\cos = \frac12$ , $\operatorname{tg} = \sqrt3$ .

Как решать

Катет = гипотенуза × синус противолежащего угла = гипотенуза × косинус прилежащего.
Катет = другой катет × тангенс противолежащего ему угла.
Дан синус, нужен косинус: $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}$ — для острого угла корень положительный.

Частые ошибки

Путают противолежащий и прилежащий катеты — смотрите, относительно какого угла.
Синус или косинус острого угла вышел больше 1 — значит, в отношении перепутаны стороны.