Единичная окружность: синус и косинус

Определение

Поверните точку $(1; 0)$ окружности радиуса 1 вокруг начала на угол $\alpha$ — против часовой стрелки, если угол положительный. Абсцисса полученной точки — $\cos\alpha$, ордината — $\sin\alpha$. Тангенс $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ — ордината точки, где луч встречает линию тангенсов $x = 1$.

Радианы

$180^\circ = \pi$, $1^\circ = \frac{\pi}{180}$: $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$, $360^\circ = 2\pi$.

Знаки по четвертям

• I: $\sin > 0$, $\cos > 0$.
• II: $\sin > 0$, $\cos < 0$.
• III: $\sin < 0$, $\cos < 0$.
• IV: $\sin < 0$, $\cos > 0$.
• Тангенс положителен в I и III четвертях.

Свойства

• $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — это уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$.
• $-1 \le \sin\alpha \le 1$, $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
• Период синуса и косинуса — $2\pi$, тангенса — $\pi$.
• $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ — косинус чётный, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ — синус нечётный.

Частые ошибки

• Путают координаты: синус — ордината, по вертикали.
• Откладывают положительный угол по часовой стрелке.