Логарифмы и тригонометрические выражения

Определение

$\log_a b = c$ означает $a^c = b$, где $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$. Логарифм — показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число: $\log_2 8 = 3$.

Свойства

• $a^{\log_a b} = b$; $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$.
• $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, $\log_a\frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$.
• $\log_a b^p = p\log_a b$, $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.
• Новое основание: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, в частности $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.

Тригонометрические выражения

• $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
• $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.
• Формулы приведения: при $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на «ко-функцию» (синус на косинус), при $\pi$ и $2\pi$ — остаётся; знак — тот, что у исходной функции в получившейся четверти. Например, $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$, $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$.
• Одна функция по другой: $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$, знак — по четверти угла.

Частые ошибки

• $\log_a(b + c) \ne \log_a b + \log_a c$.
• $\frac{\log_a b}{\log_a c}$ — это $\log_c b$, а не $\log_a\frac{b}{c}$.
• Знак корня при поиске $\cos$ по $\sin$ берут, не посмотрев на четверть.