Логарифмическая функция

Функция $y = \log_b x$

• Обратна к $y = b^x$: их графики симметричны относительно прямой $y = x$.
• Определена при $x > 0$, значения — любые числа.
• Проходит через $(1; 0)$ и $(b; 1)$.
• При $b > 1$ возрастает, при $0 < b < 1$ убывает; ось $Oy$ — вертикальная асимптота.

Сдвиги

У $y = a\log_b(x - h) + k$ асимптота $x = h$, область определения $x > h$, а точка $(h + 1; k)$ лежит на графике.

Уравнения и неравенства

• $\log_b f(x) = \log_b g(x)$ равносильно $f(x) = g(x)$ при $f(x) > 0$.
• В неравенстве при $b > 1$ знак сохраняется, при $0 < b < 1$ меняется; и обязательно $f(x) > 0$, $g(x) > 0$.

Частые ошибки

• Забывают ОДЗ: аргумент логарифма положителен.
• Путают асимптоты: у логарифма она вертикальная, у показательной функции — горизонтальная.