Показательный рост и сдвиги

Функция $y = b^x$

• Основание $b > 0$, $b \ne 1$.
• Определена при всех $x$, значения только положительные.
• Проходит через $(0; 1)$ и $(1; b)$.
• При $b > 1$ возрастает, при $0 < b < 1$ убывает; ось $Ox$ — горизонтальная асимптота.

Сдвиги: $y = a \cdot b^x + c$

Асимптота — $y = c$; пересечение с $Oy$ — $(0; a + c)$; при $a < 0$ график отражён относительно асимптоты.

Рост в разах

Когда $x$ растёт на 1, значение умножается на $b$ — это геометрическая прогрессия. Так растут вклады со сложными процентами и колонии бактерий; при $b < 1$ — радиоактивный распад.

Уравнения и неравенства

• $b^{f(x)} = b^{g(x)}$ равносильно $f(x) = g(x)$.
• $b^{f(x)} > b^{g(x)}$: при $b > 1$ — $f(x) > g(x)$, при $0 < b < 1$ — $f(x) < g(x)$, знак меняется.

Частые ошибки

• Считают, что $b^x$ может равняться нулю или быть отрицательным.
• При основании меньше 1 не меняют знак неравенства.