Арифметическая и геометрическая прогрессии

Прогрессия в сюжете (ОГЭ 14)

• Ищите, что растёт на одно и то же число — ряды, метры за секунду, капли, — это арифметическая прогрессия; во столько же раз — бактерии, распад — геометрическая.
• Спрашивают последний ряд — это $a_n$, всего мест или метров — $S_n$, «в какой день впервые» — наименьшее $n$ с $a_n \ge$ нужного.
• Масса вдвое меньше каждые 7 минут: за 28 минут — $4$ раза, $m \cdot \left(\frac12\right)^4$.

Арифметическая прогрессия

• Каждый член — предыдущий плюс одно и то же число: $a_{n + 1} = a_n + d$.
• $a_n = a_1 + (n - 1)d$.
• $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$.
• Каждый член — среднее арифметическое соседей: $a_n = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$.

Геометрическая прогрессия

• Каждый член — предыдущий, умноженный на одно и то же число: $b_{n + 1} = b_n q$, где $b_1 \ne 0$, $q \ne 0$.
• $b_n = b_1 q^{n - 1}$.
• $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ при $q \ne 1$.
• $b_n^2 = b_{n - 1} b_{n + 1}$.
• Бесконечно убывающая, $|q| < 1$: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Как узнать

Разности соседних членов одинаковы — арифметическая, отношения одинаковы — геометрическая. Рост на одно и то же число процентов — геометрическая прогрессия с $q = 1 + \frac{p}{100}$.

Частые ошибки

• В формуле $n$-го члена пишут $nd$ вместо $(n - 1)d$, $q^n$ вместо $q^{n - 1}$.
• Путают номер члена с его значением.
• При $q < 0$ знаки членов чередуются — сумма может быть меньше отдельных членов.