Кредит: равные платежи и равномерное убывание долга

Обозначения

$S$ — сумма кредита, $r\%$ — ставка за период, $k = 1 + \frac{r}{100}$ — во сколько раз долг вырастает за период до платежа.

Равные платежи

• После $n$ платежей $x$ долг равен нулю: $Sk^n - x(k^{n - 1} + \dots + k + 1) = 0$.
• По сумме геометрической прогрессии: $x = \frac{Sk^n(k - 1)}{k^n - 1}$.
• Переплата: $nx - S$.

Долг убывает равномерно

• Каждый период долг уменьшается на одну и ту же сумму $\frac{S}{n}$.
• Платёж за $i$-й период — эта часть долга плюс проценты на остаток: $\frac{S}{n} + \frac{r}{100} \cdot \frac{S(n - i + 1)}{n}$; первый платёж наибольший.
• Переплата — проценты на все остатки: $\frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$.

Как решать задачу №16

Составьте таблицу по периодам: долг в начале, долг после начисления процентов, платёж, долг после платежа. Условие «кредит погашен» — последний остаток равен нулю. Если спрашивают наименьший срок или наибольшую выплату — получится неравенство и целое $n$.

Частые ошибки

• Начисляют проценты на исходную сумму, а не на остаток.
• Путают $r$ и $k$: при ставке $10\%$ множитель $k = 1{,}1$, а не $0{,}1$.