Текстовые задачи: движение, работа, смеси, проценты

Схема решения

• Обозначьте за $x$ неизвестную величину — обычно ту, о которой спрашивают.
• Выразите через $x$ остальные величины; удобна таблица: скорость, время, путь — или производительность, время, работа.
• Составьте уравнение по словам «одинаково», «на … больше», «вместе», «всего».
• Решите и проверьте смысл: скорость положительна, время не больше заданного, число людей целое.

Движение

• $s = vt$.
• Навстречу — скорости складываются, вдогонку — вычитаются.
• По течению $v + u$, против течения $v - u$, где $u$ — скорость течения.
• Средняя скорость — весь путь делить на всё время: $v_{\text{ср}} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}$, а не среднее арифметическое скоростей.

Работа

Работа = производительность × время. Всю работу принимают за 1. При совместной работе производительности складываются: если один делает работу за $a$ часов, другой — за $b$, вместе они сделают её за $\frac{ab}{a + b}$ часов.

Смеси и сплавы

Масса вещества = концентрация × масса смеси. При смешивании складываются массы смесей и массы вещества в них — концентрации не складываются.

Задача второй части ОГЭ (21)

• Поезд мимо пешехода проходит свою длину со скоростью $v \mp w$; мимо лесополосы или другого поезда — свою длину и ещё их длину. Километры в час в метры в секунду: умножить на $\frac{1000}{3600}$.
• Половины пути: примите весь путь за 2 — тогда время на половине $\frac{1}{v}$. Из двух корней выбирают тот, что подходит под условие «больше …».
• Плот плывёт со скоростью течения: его время — время всей истории; яхта вышла позже, её время меньше на столько же.
• Бегуны на круге: длина круга одна — $vt + r = (v + d)\left(t - \frac{m}{60}\right)$.
• Сушка: вода уходит, сухое вещество остаётся — $m_1(100 - p) = m_2(100 - q)$.
• Ответ — то, о чём спрашивают: скорость, длина в метрах, килограммы кислоты, а не найденная концентрация.

Проценты

• $p\%$ от числа $a$ — это $\frac{ap}{100}$; число, $p\%$ которого равны $b$, — это $\frac{100b}{p}$.
• Увеличить на $p\%$ — умножить на $1 + \frac{p}{100}$, уменьшить — на $1 - \frac{p}{100}$.
• Два изменения подряд перемножаются: $+20\%$ и $-20\%$ дают $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, то есть $-4\%$.
• На сколько процентов $a$ больше $b$: $\frac{a - b}{b} \cdot 100\%$ — от того, с чем сравнивают.

Частые ошибки

• Смешивают единицы: минуты и часы, метры и километры.
• Считают проценты от нового значения вместо исходного.