Системы линейных уравнений: две прямые

7–9 класссредне

Прямые

Каждое уравнение $ax + by = c$ — прямая, решение системы — их общая точка. Меняйте коэффициенты: прямые пересекаются, становятся параллельными (решений нет) или совпадают (решений бесконечно много).

ОГЭсистемы уравненийпрямыеграфический способ

Тренировать: Система линейных уравнений

$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$

$(x;\ y) = \left(2;\ 1\right)$

$a_1b_2 - a_2b_1 = -3$ — наклоны разные: одна общая точка.

Уравнение 1

a1 (при x)

b1 (при y)

Уравнение 2

a2 (при x)

b2 (при y)

Теория

Способы решения

Подстановка: выразите одну переменную из одного уравнения и подставьте в другое.
Сложение: умножьте уравнения так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и сложите.
Графический: точка пересечения прямых — решение; точно его находят алгебраически.

Сколько решений

Для системы $a_1x + b_1y = c_1$ , $a_2x + b_2y = c_2$ : одно решение, если $\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$ — прямые пересекаются; нет решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ — прямые параллельны; бесконечно много, если все три отношения равны — прямые совпадают.

Прямая по уравнению

При $b \ne 0$ уравнение $ax + by = c$ — это $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$ . Равные угловые коэффициенты — прямые параллельны или совпадают.

Частые ошибки

Решение системы — пара чисел $(x; y)$ , а записывают одно число.
При умножении уравнения на число забывают умножить правую часть.