Прямая и окружность: метод координат

8–9 класссредне

Векторы и координаты

Прямая через две точки и окружность по центру и точке на ней. Уравнения пишутся сами, а точки пересечения — их общие решения — отмечаются на графике; бывает две, одна или ни одной.

метод координатуравнение окружностиуравнение прямой

Тренировать: Прямая и окружность

$\text{прямая: } y = 0{,}56x - 0{,}22$

$\text{окружность: } (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 25$

Точек пересечения: 2

$(-3{,}5;\ -2{,}17)$

$(5{,}22;\ 2{,}68)$

Подставьте уравнение прямой в уравнение окружности: получится квадратное уравнение, число его корней — число общих точек.

Теория

Уравнения

Окружность с центром $(a; b)$ и радиусом $R$ : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ .
Прямая: $y = kx + m$ или $Ax + By + C = 0$ .
Прямая через точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ : $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ .

Общие точки

Подставьте $y$ из уравнения прямой в уравнение окружности — выйдет квадратное уравнение относительно $x$ . $D > 0$ — две общие точки, $D = 0$ — прямая касается окружности, $D < 0$ — общих точек нет.

Через расстояние

Расстояние от центра $(a; b)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ : $d = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ . Если $d < R$ — две точки, $d = R$ — касание, $d > R$ — ни одной.

Частые ошибки

Пишут в правой части $R$ , а не $R^2$ .
Ошибаются со знаком центра: $(x + 3)^2$ — это $a = -3$ .