Вписанные и центральные углы

Определения

• Центральный угол — вершина в центре окружности; он равен дуге, на которую опирается.
• Вписанный угол — вершина на окружности, стороны пересекают её; он равен половине дуги, на которую опирается, то есть половине центрального угла на ту же дугу.

Главные следствия

• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
• Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов $180^\circ$; и обратно: если она $180^\circ$, около четырёхугольника можно описать окружность.
• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
• Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними.

Радиусы и касательные (ОГЭ 16)

• Квадрат со стороной $a$: $R = \frac{a\sqrt2}{2}$ — половина диагонали, $r = \frac{a}{2}$.
• Правильный треугольник: $R = \frac{a}{\sqrt3}$, $r = \frac{R}{2}$, высота $h = R + r = 3r$ — центр делит её $2 : 1$ от вершины.
• Правильный шестиугольник: $R = a$, $r = \frac{a\sqrt3}{2}$. Прямоугольный треугольник: центр описанной окружности — середина гипотенузы, $R = \frac{c}{2}$.
• Радиус в точку касания перпендикулярен касательной — получается прямоугольный треугольник с гипотенузой до центра. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: $R^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 + d^2$.
• В описанном четырёхугольнике $AB + CD = BC + AD$; у описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — их полусумме.

Ещё формулы

• Длина окружности $C = 2\pi R$, площадь круга $S = \pi R^2$.
• Дуга в $n^\circ$: длина $\frac{\pi R n}{180}$, площадь сектора $\frac{\pi R^2 n}{360}$.
• Угол между пересекающимися хордами — полусумма высекаемых ими дуг, между секущими из внешней точки — полуразность.
• Отрезки пересекающихся хорд: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$; касательная и секущая из точки $M$: $MK^2 = MA \cdot MB$.

Как решать

Сначала найдите, на какую дугу опирается угол: дуга связывает вписанный угол с центральным и с другими вписанными. Вся окружность — $360^\circ$. Два радиуса и хорда дают равнобедренный треугольник — углы при хорде равны.

Задание 18 профильного ЕГЭ: а) докажите, б) найдите

• Пункт б) почти всегда опирается на то, что доказано в а): прямой угол, равные отрезки, подобие — используйте его, даже если а) не доказан.
• Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе; отрезки касательных из одной точки равны; радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
• Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны. В трапеции, описанной около окружности, $\angle COD = 90^\circ$ и $r^2 = CK\cdot KD$.
• Две окружности, касающиеся внешним образом: центры и точка касания на одной прямой, отрезок общей касательной равен $2\sqrt{Rr}$.
• Высоты $AA_1$ и $CC_1$ отсекают треугольник $A_1BC_1$, подобный $ABC$ с коэффициентом $|\cos B|$.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине; высота из прямого угла: $h^2 = a_1b_1$, катет $a^2 = c\cdot a_1$.

Частые ошибки

• Вписанный угол считают равным дуге, а он вдвое меньше.
• Берут не ту дугу: угол опирается на дугу, лежащую внутри него, а не на дополнительную.