Четырёхугольники и их площади

Свойства

• Параллелограмм: противоположные стороны параллельны и равны, противоположные углы равны, соседние в сумме $180^\circ$, диагонали делятся точкой пересечения пополам.
• Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами; его диагонали равны.
• Ромб — параллелограмм с равными сторонами; диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
• Квадрат — и прямоугольник, и ромб: все свойства сразу.
• Трапеция — две стороны параллельны (основания). Средняя линия $m = \frac{a + b}{2}$ параллельна основаниям. У равнобедренной трапеции углы при основании и диагонали равны.

Площади

• Параллелограмм: $S = ah = ab\sin\alpha$.
• Прямоугольник $S = ab$, квадрат $S = a^2 = \frac{d^2}{2}$.
• Ромб: $S = ah = \frac{d_1 d_2}{2} = a^2\sin\alpha$.
• Трапеция: $S = \frac{a + b}{2}h = mh$.
• Любой выпуклый четырёхугольник: $S = \frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $\varphi$ — угол между диагоналями.

Углы и отрезки (ОГЭ 17)

• Углы параллелограмма и равнобедренной трапеции — две пары: $x$, $x$, $180^\circ - x$, $180^\circ - x$. «Больше на $d$» — $x + (x + d) = 180^\circ$; сумма двух углов не $180^\circ$ — это два равных угла.
• Диагональ ромба делит его угол пополам; две стороны и диагональ — равнобедренный треугольник. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам — четыре равнобедренных треугольника с вершиной в их точке пересечения.
• Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник: $AB = BK$.
• Диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$. Высота равнобедренной трапеции отсекает от большего основания $\frac{b - a}{2}$.
• Стороны ромба — гипотенузы треугольников из половин диагоналей: $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$. Диагональ квадрата $d = a\sqrt2$.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник — параллелограмм, если две его стороны равны и параллельны, или противоположные стороны попарно равны, или диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Сумма углов

У выпуклого четырёхугольника $360^\circ$, у выпуклого $n$-угольника $180^\circ(n - 2)$.

Частые ошибки

• В $S = ah$ берут боковую сторону вместо высоты.
• Среднюю линию трапеции считают полусуммой боковых сторон, а она — полусумма оснований.
• Считают диагонали ромба равными — равны они только у квадрата.