Подобные треугольники и теорема Фалеса

8 класссредне

Планиметрия

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает подобный треугольник: все стороны уменьшаются в $k$ раз, площадь — в $k^2$ раз, а стороны угла делятся в одном отношении.

ОГЭЕГЭ базаЕГЭ профильподобиетеорема Фалесасредняя линия

Тренировать: Подобные треугольники Тренировать: Планиметрия: докажите и найдите (ЕГЭ профиль №18)

k = BD : BA

Вершины треугольника можно перетаскивать.

$\frac{BD}{BA} = \frac{4{,}84}{8{,}06} = 0{,}6$

$\frac{BE}{BC} = \frac{5{,}53}{9{,}22} = 0{,}6$

$\frac{DE}{AC} = \frac{6}{10} = 0{,}6$

$\frac{S_{DBE}}{S_{ABC}} = \frac{12{,}6}{35} = 0{,}36 = k^2$

DE ∥ AC, поэтому треугольник DBE подобен ABC с коэффициентом k: все стороны в k раз меньше, а площадь — в k² раз. Отрезки AD и CE относятся к DB и EB одинаково — это теорема о пропорциональных отрезках (обобщённая теорема Фалеса).

Теория

Подобие

Треугольники подобны, если их углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны: $\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$ . Соответствуют стороны, лежащие против равных углов.

Признаки

По двум углам.
По двум сторонам и углу между ними: стороны пропорциональны, углы равны.
По трём сторонам: все три пропорциональны.

Что следует

Высоты, медианы, биссектрисы и периметры относятся как $k$ .
Площади — как $k^2$ .
Объёмы подобных тел — как $k^3$ .

Теорема Фалеса и средняя линия

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки; если на одной стороне отрезки равны, они равны и на другой.
Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине; отсекает треугольник с $k = \frac12$ и площадью в 4 раза меньше.

В прямоугольном треугольнике

Высота из прямого угла делит его на два треугольника, подобных исходному. Отсюда $h^2 = a_c b_c$ и $a^2 = c \cdot a_c$ , где $a_c$ и $b_c$ — проекции катетов на гипотенузу.

Частые ошибки

Сопоставляют стороны не в том порядке — сначала найдите равные углы.
Площадь умножают на $k$ , а не на $k^2$ .