Клетчатая бумага: площадь и длины

7–9 класслегко

Планиметрия

Многоугольник с вершинами в узлах сетки — как в заданиях ОГЭ. Площадь считается по формуле Пика через узлы на границе и внутри, длины сторон — по теореме Пифагора.

ОГЭЕГЭ базаклетчатая бумагаформула Пикаплощадь

Тренировать: Площадь на клетчатой бумаге Тренировать: План местности на клетках (ЕГЭ база №9)

Показать узлы на границе и внутри

$\text{узлов внутри: } I = 33$

$\text{узлов на границе: } B = 4$

$S = I + \frac{B}{2} - 1 = 33 + 2 - 1 = 34$

Стороны

$AB = \sqrt{7^2 + 1^2} = 5\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}$

$CD = \sqrt{7^2 + 1^2} = 5\sqrt{2}$

$DA = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}$

Теория

Три способа найти площадь

Разбить фигуру на прямоугольники и прямоугольные треугольники и сложить их площади.
Описать вокруг фигуры прямоугольник по линиям сетки и вычесть лишние прямоугольные треугольники по углам — обычно быстрее всего.
Формула Пика для многоугольника с вершинами в узлах: $S = \text{В} + \frac{\text{Г}}{2} - 1$ , где $\text{В}$ — узлы внутри, $\text{Г}$ — узлы на границе, вершины тоже.

Формулы фигур

Треугольник $S = \frac12 ah$ , параллелограмм $S = ah$ , трапеция $S = \frac{a + b}{2}h$ . Основание и высоту удобно брать вдоль линий сетки — тогда их длины считаются по клеткам.

Длины

Горизонтальный и вертикальный отрезок — число клеток. Наклонный — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами по сетке: $\sqrt{a^2 + b^2}$ .

План местности

Клетка $10 \times 10$ м — это $100$ кв. м: площадь в клетках умножают на площадь клетки, а не на её сторону.
Расстояние и длину забора — в клетках, потом умножают на сторону клетки; ворота из забора вычитают.

Частые ошибки

В формуле Пика вершины считают внутренними узлами или забывают их на границе.
Считают «половинки» клеток на глаз — у наклонной стороны они не половинки; надёжнее формулы.
Если клетка не $1 \times 1$ , площадь в клетках умножают на площадь одной клетки.