Тангенс угла на клетчатой бумаге

8–9 класслегко

Планиметрия

Угол с вершиной и концами сторон в узлах сетки — как в заданиях ОГЭ. Из конца одной стороны опустите перпендикуляр на другую — на ту, что идёт по линии сетки: выйдет прямоугольный треугольник, и $\operatorname{tg}\angle AOB = \frac{AH}{OH}$ — противолежащий катет делить на прилежащий, оба считаются по клеткам. Перетащите точки — тангенс пересчитывается.

ОГЭЕГЭ базаклетчатая бумагатангенспрямоугольный треугольник

Тренировать: Тангенс угла на клетчатой бумаге

$\operatorname{tg}\angle AOB = \frac{AH}{OH} = \frac{5}{3}$

Сторона OB идёт по линии сетки — опустите на неё перпендикуляр из A. В прямоугольном треугольнике OAH противолежащий углу катет AH и прилежащий OH считаются по клеткам. Перетащите точки.

Теория

Когда сторона идёт по сетке

Из конца другой стороны опустите перпендикуляр на эту — выйдет прямоугольный треугольник с катетами по клеткам: $\operatorname{tg}\angle O = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$ .

Когда ни одна сторона не идёт по сетке

Достройте треугольник с вершиной угла, найдите его стороны по теореме Пифагора, а косинус угла — по теореме косинусов (9 класс).
Или через векторы: $\cos\angle O = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$ , где $\vec a$ и $\vec b$ — стороны угла в клетках.
Иногда угол удобно увидеть в прямоугольном треугольнике, все стороны которого — наклонные отрезки: его катеты находят по Пифагору.

Тупой угол

$\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$ : найдите тангенс смежного острого угла и смените знак.

Синус и косинус по тем же клеткам

Гипотенуза — по теореме Пифагора, затем $\sin = \frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}$ , $\cos = \frac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}$ .

Частые ошибки

Делят прилежащий катет на противолежащий — это котангенс.
Берут треугольник, в котором нужный угол не при вершине $O$ .