Замечательные точки треугольника

7–9 класссредне

Планиметрия

Перетаскивайте вершины треугольника и смотрите, как пересекаются медианы, высоты, биссектрисы и серединные перпендикуляры. Длины сторон, углы и площадь по формуле Герона пересчитываются на ходу.

ОГЭЕГЭ базаЕГЭ профильтреугольникмедианавысотабиссектрисаописанная окружностьвписанная окружность

Тренировать: Замечательные точки треугольника

Медианы и центроидВысоты и ортоцентрБиссектрисы и вписанная окружностьСерединные перпендикуляры и описанная окружностьВершины в узлах сетки

Треугольник остроугольный

$a = BC = 10{,}63$

$\angle A = 60{,}3^\circ$

$b = CA = 8{,}06$

$\angle B = 41{,}2^\circ$

$c = AB = 12$

$\angle C = 78{,}6^\circ$

$P = a + b + c = 30{,}69$

Площадь по формуле Герона

$p = \frac{P}{2} = 15{,}35$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\phantom{S} = \sqrt{15{,}35\cdot4{,}72\cdot7{,}28\cdot3{,}35} = 42$

Теория

Четыре линии и четыре точки

Медиана соединяет вершину с серединой противолежащей стороны. Медианы пересекаются в одной точке — центре тяжести; она делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины.
Биссектриса делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности — он равноудалён от сторон.
Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону. Прямые высот пересекаются в ортоцентре: у тупоугольного треугольника он снаружи, у прямоугольного — в вершине прямого угла.
Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны перпендикулярно ей. Они пересекаются в центре описанной окружности — он равноудалён от вершин; у прямоугольного треугольника это середина гипотенузы.

Формулы

Сумма углов: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ ; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Площадь: $S = \frac12 a h_a = \frac12 ab\sin\gamma$ .
Формула Герона: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ , где $p = \frac{a + b + c}{2}$ .
Радиусы: вписанной окружности $r = \frac{S}{p}$ , описанной $R = \frac{abc}{4S}$ .
Биссектриса $BL$ делит сторону в отношении прилежащих сторон: $\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC}$ .

Равносторонний треугольник

Все четыре точки совпадают. Со стороной $a$ : высота $h = \frac{a\sqrt3}{2}$ , площадь $S = \frac{a^2\sqrt3}{4}$ , $R = \frac{a\sqrt3}{3}$ , $r = \frac{a\sqrt3}{6}$ , так что $R = 2r$ .

Частые ошибки

Путают центры: вписанной окружности — биссектрисы, описанной — серединные перпендикуляры.
Высоту тупоугольного треугольника из вершины острого угла проводят внутрь, а она падает на продолжение стороны.