Степени и корни

Свойства степеней

• $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$.
• $(ab)^n = a^n b^n$, $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$.
• $a^0 = 1$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ при $a \ne 0$.
• $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ при $a > 0$.

Свойства корней

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $a \ge 0$, $b > 0$.
• $\sqrt{a^2} = |a|$, а $(\sqrt{a})^2 = a$ при $a \ge 0$.
• Вынесение множителя: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$; внесение: $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$.

Формулы сокращённого умножения

• $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
• $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
• Иррациональность в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$.

Как считать

Приведите степени к одному основанию: $4^3 \cdot 8^{-2} = 2^6 \cdot 2^{-6} = 1$. Число под корнем разложите на множители — полные квадраты выйдут из-под корня.

Частые ошибки

• $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ и $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$.
• $(-2)^4 = 16$, но $-2^4 = -16$: степень сильнее минуса.
• При умножении степеней показатели складывают, а не перемножают.