Тригонометрические уравнения и отбор корней

10–11 класссложно

Единичная окружность

Серия корней уравнения $\sin x = a$ , $\cos x = a$ или $\operatorname{tg} x = a$ — точки на окружности, а отрезок намотан на неё дугой. Корни на отрезке — точки под дугой, как в пункте б) задания 14 профильного ЕГЭ. Уравнения этого задания, как в банке и демоверсии: двойной угол и формулы приведения, формула сложения, $\sin 2x$ и общий множитель, однородное, показательное с заменой, дробь и корень с ОДЗ.

ЕГЭ профильтригонометрияуравненияотбор корнейЕГЭ 14формулы приведения

Тренировать: Отбор корней на отрезке Тренировать: Уравнение: формулы, замена, ОДЗ, отбор корней (ЕГЭ профиль №14)

Начало отрезка

-\frac{7\pi}{2}

Конец отрезка

-2\pi

$\sin x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

$x \in \left[-\frac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]$

$x = -\frac{19\pi}{6}$

Отрезок намотан на окружность дугой. Корни на нём — точки серии под дугой; значение каждой отсчитывается от начала дуги, с учётом пройденных оборотов.

Теория

Серии корней

$\sin x = a$ , $|a| \le 1$ : $x = \arcsin a + 2\pi n$ и $x = \pi - \arcsin a + 2\pi n$ .
$\cos x = a$ , $|a| \le 1$ : $x = \pm\arccos a + 2\pi n$ .
$\operatorname{tg} x = a$ : $x = \operatorname{arctg} a + \pi n$ .
Частные случаи: $\sin x = 0$ при $x = \pi n$ , $\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ , $\sin x = 1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ; везде $n \in \mathbb{Z}$ .

Как свести к простейшим

Формулы приведения: $\cos(x + \pi) = -\cos x$ , $\sin(\pi - x) = \sin x$ , $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ , $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x$ . Функция меняется на «ко-» при $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ , знак — по четверти, где лежал бы угол при остром $x$ .
Двойной угол: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$ — уравнение становится квадратным относительно $\sin x$ или $\cos x$ ; корень $t$ с $|t| > 1$ отбрасывают.
$\sin 2x = 2\sin x\cos x$ — общий множитель выносят за скобки, на него не делят.
Формула сложения: $\cos(x + \varphi) = \cos x\cos\varphi - \sin x\sin\varphi$ — часть слагаемых часто сокращается.
Однородное $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$ при $a \ne 0$ : $\cos x = 0$ не корень, делим на $\cos^2 x$ и решаем квадратное относительно $\operatorname{tg} x$ . Число справа заменяют на $d(\sin^2 x + \cos^2 x)$ .
Показательное: $t = 4^{\sin x} > 0$ — корень $t \le 0$ не подходит.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет; произведение с корнем — когда множитель равен нулю там, где корень определён, или подкоренное выражение равно нулю.

Три способа отбора

По окружности: отметьте дугу, соответствующую отрезку, и точки серий; корни — точки на дуге. Их значения находят, прибавляя или вычитая $2\pi$ к знакомым углам.
Двойным неравенством: $a \le x_0 + 2\pi n \le b$ — решите относительно целого $n$ .
Перебором $n = 0, \pm1, \pm2, \dots$ — удобно на коротком отрезке.

Частые ошибки

Путают серию синуса с серией косинуса.
Теряют вторую серию синуса $\pi - \arcsin a$ .
Не включают корень, попавший точно на конец отрезка.