Векторы: сумма, разность, скалярное произведение

Вектор и его координаты

Вектор — направленный отрезок. Координаты: из конца вычесть начало, $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$. Длина: $|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Равные векторы — одинаковые координаты, где бы они ни лежали.

Сумма, разность, число

• Правило треугольника: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• Правило параллелограмма: сумма векторов с общим началом — диагональ параллелограмма, построенного на них.
• Разность $\vec a - \vec b$ — вектор из конца $\vec b$ в конец $\vec a$.
• В координатах складываются и вычитаются соответствующие координаты; $k\vec a = (kx; ky)$.

Скалярное произведение

• $\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi = x_1x_2 + y_1y_2$.
• Угол между векторами: $\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$.
• $\vec a \perp \vec b$ тогда и только тогда, когда $\vec a \cdot \vec b = 0$; $\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$.

Длина суммы и коллинеарность

• $|\vec a + \vec b|^2 = |\vec a|^2 + 2\,\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2$ — это теорема косинусов для диагонали параллелограмма.
• Векторы коллинеарны, когда их координаты пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.

Частые ошибки

• Считают координаты «начало минус конец».
• Длину суммы находят как сумму длин — это верно, только если векторы сонаправлены.