Метод координат в пространстве

11 класссложно

Векторы и координаты

Плоскость $ax + by + cz = d$ перпендикулярна нормали $\vec n = (a; b; c)$ . Расстояние от точки до неё — длина перпендикуляра $\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ . Угол прямой с плоскостью — дополнение до $90^\circ$ угла между прямой и нормалью, поэтому $\sin\varphi = \frac{|\vec n \cdot \vec a|}{|\vec n|\,|\vec a|}$ ; угол двух плоскостей равен углу между нормалями, $\cos\varphi = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$ .

ЕГЭ профильметод координатплоскостьрасстояниеугол

Тренировать: Расстояние до плоскости Тренировать: Угол прямой и плоскости Тренировать: Стереометрия: докажите и найдите (ЕГЭ профиль №15)

Теория

Основа

Расстояние между точками: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ .
Координаты вектора, сумма и скалярное произведение — как на плоскости, с третьей координатой: $\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ .
Угол между прямыми — по их направляющим векторам: $\cos\varphi = \frac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a|\,|\vec b|}$ .

Уравнение плоскости

Через три точки: подставьте их в $ax + by + cz = d$ и найдите коэффициенты — один из них можно выбрать самому.
В отрезках: $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1$ — плоскость отсекает на осях отрезки $p$ , $q$ , $r$ .
Вектор $(a; b; c)$ из уравнения — нормаль, перпендикуляр к плоскости.

Система координат в многограннике

В кубе начало — в вершине, оси — по трём рёбрам из неё; при ребре $a$ координаты вершин — нули и $a$ . В правильной пирамиде начало удобно взять в центре основания, ось $Oz$ — по высоте.

Частые ошибки

Для угла прямой с плоскостью берут косинус вместо синуса: угол с нормалью дополняет его до $90^\circ$ .
Забывают модуль: угол между прямыми или плоскостями не больше $90^\circ$ .