Теорема о трёх перпендикулярах

10 класссредне

Прямые и плоскости

Перпендикуляр к плоскости, наклонная и её проекция. Прямая в плоскости перпендикулярна наклонной ровно тогда, когда она перпендикулярна проекции, — поверните прямую и увидите оба угла сразу.

ЕГЭ профильстереометрияперпендикулярнаклоннаяпроекциярасстояние

Тренировать: Теорема о трёх перпендикулярах

Теория

Понятия

Из точки $A$ вне плоскости: $AH$ — перпендикуляр к плоскости, $AM$ — наклонная, $HM$ — её проекция. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Теорема и обратная

Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной. Обратно: перпендикулярная наклонной — перпендикулярна проекции.

Расстояния и углы

От точки до плоскости — длина перпендикуляра $AH$ .
От точки $A$ до прямой в плоскости: проведите $HK$ перпендикулярно прямой; тогда $AK$ — искомое расстояние, $AK = \sqrt{AH^2 + HK^2}$ .
Угол наклонной с плоскостью — угол между наклонной и её проекцией: $\sin\varphi = \frac{AH}{AM}$ .

Наклонные из одной точки

Равные наклонные имеют равные проекции; из двух наклонных больше та, у которой больше проекция; перпендикуляр короче любой наклонной.

Частые ошибки

Применяют теорему к прямой, которая не лежит в плоскости.
Угол наклонной с плоскостью считают от перпендикуляра, а не от проекции.