Двугранный угол и его линейный угол

Определение

Двугранный угол — две полуплоскости с общей границей, ребром. Его мера — линейный угол: возьмите точку на ребре и проведите в каждой грани луч, перпендикулярный ребру. Угол между плоскостями — от $0^\circ$ до $90^\circ$, двугранный угол — до $180^\circ$.

Как построить линейный угол

• Из точки одной грани опустите перпендикуляр на другую плоскость.
• Из его основания проведите перпендикуляр к ребру.
• По теореме о трёх перпендикулярах наклонная тоже перпендикулярна ребру — угол между наклонной и её проекцией и есть линейный угол.

В правильной пирамиде

Угол между боковой гранью и основанием — между апофемой и её проекцией, отрезком от центра основания до середины стороны: $\operatorname{tg}\varphi = \frac{h}{r}$, где $r$ — радиус вписанной в основание окружности. У четырёхугольной пирамиды со стороной $a$ $r = \frac{a}{2}$.

Другие способы

• Площадь проекции: $S_{\text{пр}} = S\cos\varphi$ — удобно для угла между сечением и основанием.
• Через нормали: $\cos\varphi = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$.

Частая ошибка

Берут угол между лучами, которые не перпендикулярны ребру, — например, между боковыми рёбрами пирамиды.

Задание 15 профильного ЕГЭ: а) докажите, б) найдите

• Пункт б) опирается на а): доказанные параллельность, перпендикулярность плоскостей или отношение дают нужный угол или отрезок.
• Сечение через прямую, параллельную плоскости, пересекает эту плоскость по параллельной прямой: плоскость $ABM$ пересекает грань $SCD$ по $MN \parallel CD$.
• Отношение объёмов пирамид с общим углом при вершине: $\frac{V_{AMKC}}{V_{ABDC}} = \frac{AM\cdot AK}{AB\cdot AD}$.
• Расстояние от точки до плоскости — через объём: $d = \frac{3V}{S}$; угол прямой с плоскостью: $\sin\varphi = \frac{d}{AC}$.
• Ответ часто с корнем: $\frac{\sqrt6}{3}$, $72\sqrt3$ — в поле его так и набирают, клавишей √.