Скрещивающиеся прямые в кубе

Как могут лежать две прямые

В пространстве прямые пересекаются, параллельны — лежат в одной плоскости и не пересекаются — или скрещиваются: в одной плоскости не лежат. Признак: одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой.

Угол

Перенесите одну прямую параллельно, чтобы она пересекла другую: угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися, от $0^\circ$ до $90^\circ$. Пример: в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямая $BC_1$ параллельна $AD_1$, поэтому угол между $AB_1$ и $BC_1$ — угол в равностороннем треугольнике $AB_1D_1$, то есть $60^\circ$.

Расстояние

• Длина общего перпендикуляра — отрезка, перпендикулярного обеим прямым.
• Или расстояние от одной прямой до параллельной ей плоскости, в которой лежит другая.
• В кубе с ребром $a$: между скрещивающимися рёбрами — $a$; между ребром $AA_1$ и диагональю основания $BD$ — $\frac{a\sqrt2}{2}$.

Методом координат

Угол — по направляющим векторам: $\cos\varphi = \frac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a|\,|\vec b|}$. Расстояние — от точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Частые ошибки

• Получили угол больше $90^\circ$ — нужно взять смежный.
• Принимают прямые за пересекающиеся, потому что они пересекаются на чертеже.