Движения: симметрии, поворот, перенос

9 класслегко

Планиметрия

Четыре движения плоскости на одном флажке: осевая и центральная симметрия, поворот и параллельный перенос. Все они сохраняют расстояния, и только осевая симметрия переворачивает фигуру.

движениясимметрияповоротпараллельный перенос

Тренировать: Движения на клетчатой плоскости

Синий флаг тянется за нижнюю точку древка; оранжевые точки задают ось.

Каждая точка переходит в точку по другую сторону от оси на том же расстоянии; отрезок между ними перпендикулярен оси. Флаг переворачивается — это зеркальное отражение.

Любое движение сохраняет расстояния и углы: зелёный флаг равен синему. Ориентация меняется — флаг смотрит в другую сторону.

Теория

Что такое движение

Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния. Фигура переходит в равную ей, прямая — в прямую, угол — в равный угол.

Четыре движения

Осевая симметрия относительно прямой $l$ : $l$ — серединный перпендикуляр к $AA'$ . Меняет направление обхода вершин — фигура переворачивается.
Центральная симметрия относительно $O$ : $O$ — середина $AA'$ ; это поворот на $180^\circ$ .
Поворот вокруг $O$ на угол $\varphi$ : $OA' = OA$ и $\angle AOA' = \varphi$ ; положительный угол — против часовой стрелки.
Параллельный перенос на вектор $\vec a$ : $\overrightarrow{AA'} = \vec a$ .

В координатах

Симметрия относительно $Ox$ : $(x; y) \to (x; -y)$ ; относительно $Oy$ : $(x; y) \to (-x; y)$ .
Относительно начала координат: $(x; y) \to (-x; -y)$ ; относительно прямой $y = x$ : $(x; y) \to (y; x)$ .
Поворот вокруг начала на $90^\circ$ против часовой стрелки: $(x; y) \to (-y; x)$ .
Перенос на вектор $(a; b)$ : $(x; y) \to (x + a; y + b)$ .

А гомотетия?

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ — не движение: расстояния умножаются на $|k|$ . Но углы она сохраняет и даёт подобные фигуры.

Частые ошибки

Путают поворот по часовой и против часовой стрелки.
При центральной симметрии меняют знак только одной координаты.