Шар, вписанный в цилиндр

Как они расположены

Шар радиуса $R$ вписан в цилиндр: радиус основания цилиндра $R$, высота $2R$; шар касается обоих оснований и боковой поверхности.

Теорема Архимеда

• $V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$, $V_{\text{шара}} = \frac43\pi R^3 = \frac23V_{\text{цил}}$.
• $S_{\text{цил}} = 2\pi R^2 + 2\pi R \cdot 2R = 6\pi R^2$, $S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2 = \frac23S_{\text{цил}}$.
• Конус с тем же основанием и высотой — $\frac13V_{\text{цил}}$: объёмы конуса, шара и цилиндра относятся как $1 : 2 : 3$.

Другие вписанные тела

• Шар, вписанный в куб: $R = \frac{a}{2}$; описанный около куба: $R = \frac{a\sqrt3}{2}$.
• Цилиндр, вписанный в шар: $r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2$.

Частая ошибка

Высоту цилиндра принимают равной $R$, а она $2R$.