Площадь между графиками

11 класссложно

Производная и интеграл

Площадь фигуры между параболой и прямой: пределы интегрирования — точки пересечения, под интегралом — верхний график минус нижний. Ответ сходится с формулой $|a|(x_2 - x_1)^3/6$ .

интегралплощадьпараболаначала анализа

Тренировать: Площадь между графиками

$y = -x^2 + x + 4$

$y = -x + 1$

a (при x²)

b (при x)

k (наклон прямой)

m (сдвиг прямой)

$x_1 = -1,\ x_2 = 3$

$S = \int_{-1}^{3} \left(-x^2 + 2x + 3\right) dx$

$S = \frac{|a|\,(x_2 - x_1)^3}{6} = 10{,}667$

Под интегралом — верхний график минус нижний: парабола выше прямой. Пределы интегрирования — абсциссы точек пересечения.

Теория

Формула

Если на $[a; b]$ $f(x) \ge g(x)$ , площадь между графиками $S = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ — верхний минус нижний. Где лежат графики относительно оси $Ox$ , неважно.

Алгоритм

Найдите точки пересечения из уравнения $f(x) = g(x)$ — это пределы $a$ и $b$ .
Узнайте, какой график выше: подставьте точку между ними.
Проинтегрируйте разность.
Если графики пересекаются ещё и внутри — разбейте отрезок на части.

Парабола и прямая

Если прямая пересекает параболу $y = ax^2 + bx + c$ в точках $x_1 < x_2$ , площадь между ними $S = \frac{|a|(x_2 - x_1)^3}{6}$ — удобная проверка.

Частые ошибки

Вычитают в обратном порядке и получают отрицательную площадь.
Не замечают, что графики поменялись местами внутри отрезка.