Квадратное неравенство и парабола

Алгоритм

• Перенесите всё в одну часть: $ax^2 + bx + c$ сравнивается с нулём.
• Найдите корни $ax^2 + bx + c = 0$.
• Нарисуйте параболу схематично: ветви вверх при $a > 0$, вниз при $a < 0$, нули — в корнях.
• Возьмите промежутки, где парабола выше оси (для $> 0$) или ниже (для $< 0$).
• При нестрогом знаке корни входят в ответ — квадратные скобки.

Если $a > 0$

• $D > 0$: $ax^2 + bx + c > 0$ при $x < x_1$ или $x > x_2$; $< 0$ при $x_1 < x < x_2$.
• $D = 0$: $> 0$ при всех $x \ne x_0$; $< 0$ — решений нет; $\le 0$ — только $x = x_0$.
• $D < 0$: $> 0$ при всех $x$; $< 0$ — решений нет.

Если $a < 0$

Удобно умножить неравенство на $-1$ и сменить знак: $-x^2 + 4 > 0$ — это $x^2 - 4 < 0$, ответ $(-2; 2)$.

Частые ошибки

• Не учитывают, что при $a < 0$ ветви вниз.
• Записывают ответ двойным неравенством, когда это объединение: $(-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$.