Моделирование: наибольшее и наименьшее в жизни

10–11 класссложно

Формулы

Задание 17 профильного ЕГЭ с 2027 года: величину из жизни записать функцией и найти, где она наибольшая или наименьшая. Мощность нагрузки генератора и качка корабля — как в демоверсии; коробка из листа, бак из жести, забор у стены, экономичная скорость катера, путь к пункту на берегу, кабель через реку, концентрация лекарства, автомобили у перекрёстка, прибыль при спросе от цены. С решением строится график зависимости, ответ проверяется сразу.

ЕГЭ профильЕГЭ 17производнаянаибольшее значениеоптимизацияприкладные задачи

Тренировать: Моделирование: наибольшее и наименьшее в жизни (ЕГЭ профиль №17)

Пример

Путник в лодке находится на озере в 8 км от прямого берега; ближайшая к нему точка берега — пункт A. Ему нужно попасть в пункт B на берегу, который находится в 11 км от A. Лодка плывёт со скоростью 3 км/ч, а пешком путник идёт со скоростью 5 км/ч. На каком расстоянии от пункта B ему нужно причалить, чтобы попасть в B как можно скорее? Ответ дайте в километрах.

Решение

Попробуйте решить сами, потом откройте решение — по шагу или сразу.

Теория

Как составить модель

Выберите одну переменную — ту, что можно менять: сопротивление нагрузки, сторону выреза, радиус бака, место причала.
Остальные величины выразите через неё из условия: $h = \frac{V}{\pi r^2}$ , вторая сторона $= \frac{S}{x}$ .
Запишите величину, которую нужно сделать наибольшей или наименьшей, функцией этой переменной.
Найдите, где эта переменная имеет смысл: длины положительны, вырез меньше половины листа, реостат — от $R_1$ до $R_2$ .

Как найти ответ

Найдите производную и решите $f'(x) = 0$ на этом промежутке.
Проверьте знаки $f'$ слева и справа: « $+$ , потом $-$ » — максимум, « $-$ , потом $+$ » — минимум. Одна такая точка на промежутке и даёт ответ.
Нет нуля производной на промежутке — функция монотонна, ответ на конце.
Смотрите, что спрашивают: где величина наибольшая (сопротивление, период, скорость) или само наибольшее значение (мощность, объём, прибыль).

Приёмы

Корень $\sqrt{g(x)}$ или дробь в квадрате: ищите экстремум $g$ или квадрата — он в той же точке, если величина положительна.
Замена $x = \tau^2$ упрощает производную, когда переменная входит только в квадрате.
Расход на километр — это расход в час, делённый на скорость: $\frac{kv^3 + d}{v} = kv^2 + \frac{d}{v}$ .
Путь «по воде, потом по суше» короче всего, когда $\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$ равно отношению скоростей или цен.

Частые ошибки

Забывают проверить знак производной — нуль производной бывает и минимумом.
Не учитывают ограничения: реостат, длина листа, ширина реки.
Дают точку вместо значения или наоборот.