Анализ графиков: соответствие

10–11 класслегко

Практические задачи

Задание 7 ЕГЭ базового уровня: четыре точки или четыре промежутка — и четыре характеристики, каждой своя. В точках K, L, M, N на оси — знаки функции и её производной по графику; касательные в этих точках — значения производной: круче касательная — больше модуль. Пульс гимнаста, скорость автобуса, температура за сутки: на каком промежутке росло, падало, сначала росло, а затем падало.

ЕГЭ базаЕГЭ база 7графикипроизводнаякасательнаясоответствие

Тренировать: Знаки функции и производной: соответствие (ЕГЭ база №7)Тренировать: Касательные и производная: соответствие (ЕГЭ база №7)Тренировать: Графики: интервалы и характеристики (ЕГЭ база №7)

Тип задач

Пример

На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены точки K, L, M и N на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной. В ответе запишите номера подряд — для K, L, M и N.

$y = f(x)$

ТОЧКИ	ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ
K	1) значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно
L	2) значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно
M	3) значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
N	4) значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно

Решение

Попробуйте решить сами, потом откройте решение — по шагу или сразу.

Теория

Знаки функции и производной

Значение функции в точке положительно, если график над осью $Ox$ , и отрицательно, если под ней.
Производная положительна там, где функция возрастает — график идёт вверх слева направо, — и отрицательна, где убывает.
Два знака независимы: функция может быть отрицательной и при этом возрастать.

Касательная и производная

Значение производной в точке — угловой коэффициент касательной: $f'(x_0) = k$ .
Касательная поднимается — $k > 0$ , опускается — $k < 0$ ; чем круче, тем больше $|k|$ : $k = 3$ круче, чем $k = 0{,}5$ .
Сначала разделите точки по знаку, потом внутри каждой пары сравните крутизну.

Промежутки и характеристики

Смотрите только на свой промежуток: где график в его начале, в середине и в конце.
«Росла» — весь промежуток вверх; «сначала росла, а затем падала» — вверх до вершины, потом вниз.
Каждой характеристике соответствует ровно один промежуток: проверьте, что номера в ответе не повторяются.

Частые ошибки

Путают знак функции со знаком производной: смотрят, выше ли оси точка, а надо — растёт ли функция.
Записывают ответ в порядке характеристик, а не в порядке точек или промежутков.