N-угольная призма

Правильная призма

Основания — равные правильные $n$-угольники, боковые грани — прямоугольники. Вершин $2n$, рёбер $3n$, граней $n + 2$.

Формулы

• $V = S_{\text{осн}}h$.
• $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}}h = nah$, $S = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$.
• Правильный $n$-угольник, вписанный в окружность радиуса $R$: сторона $a = 2R\sin\frac{\pi}{n}$, площадь $S_{\text{осн}} = \frac{n}{2}R^2\sin\frac{2\pi}{n}$.

Частые основания

• Правильный треугольник: $S = \frac{\sqrt3}{4}a^2$.
• Правильный шестиугольник — шесть равносторонних треугольников: $S = \frac{3\sqrt3}{2}a^2$, $R = a$.
• Чем больше $n$, тем ближе призма к цилиндру.

Формула Эйлера

Для любого выпуклого многогранника $\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2$ — вершины минус рёбра плюс грани. У призмы: $2n - 3n + (n + 2) = 2$.

Частая ошибка

Путают радиус описанной окружности основания с его стороной — они равны только у шестиугольника.