Locus
Locus
← Каталог задач

ОГЭ, задание 20: уравнения, неравенства, системы

9 класссложно

Уравнения

Вторая часть ОГЭ по алгебре, как в банке: биквадратное уравнение, разложение группировкой и общим множителем, сумма квадратов, равная нулю, замена t=1xt = \frac1x, корень по обе стороны знака равенства; неравенства с квадратом и дробью; системы сложением, подстановкой и через x2+y2x^2 + y^2 и xyxy; дробь со степенями и значение выражения по отношению. Ответ — корни, промежутки или пары (x; y)(x;\ y) — проверяется сразу.

ОГЭОГЭ 20уравнениянеравенствасистемы уравненийстепени
Тренировать: Уравнения, неравенства, системы, дроби (ОГЭ №20)

Пример

Решите систему уравнений.

{6x2+y=7,6x2−y=5\displaystyle \begin{cases} 6x^2 + y = 7, \\ 6x^2 - y = 5 \end{cases}

Решение

Попробуйте решить сами, потом откройте решение — по шагу или сразу.

Теория

Уравнения

  • Биквадратное x4+px2+q=0x^4 + px^2 + q = 0: замена t=x2≥0t = x^2 \ge 0; отрицательный корень tt корней xx не даёт.
  • Группировка: x3+4x2−9x−36=x2(x+4)−9(x+4)=(x+4)(x−3)(x+3)x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = x^2(x + 4) - 9(x + 4) = (x + 4)(x - 3)(x + 3).
  • Общий множитель не сокращают, а выносят: (x−2)2(x−3)=12(x−2)(x - 2)^2(x - 3) = 12(x - 2) даёт x=2x = 2 или (x−2)(x−3)=12(x - 2)(x - 3) = 12.
  • Сумма квадратов равна нулю, только когда оба квадрата нули: подходит общий корень двух скобок.
  • 1x2+px+q=0\frac{1}{x^2} + \frac{p}{x} + q = 0: замена t=1xt = \frac1x, потом x=1tx = \frac1t.
  • Одинаковый корень по обе стороны сокращается, но его ОДЗ остаётся: корни проверяют условием c−x≥0c - x \ge 0.

Неравенства

  • (x−a)2<k(x−a)(x - a)^2 < k(x - a) — перенесите всё влево и вынесите (x−a)(x - a); на обе части не делят: знак x−ax - a неизвестен.
  • Числитель-число: знак дроби — знак знаменателя (или обратный, если числитель отрицателен); знаменатель не равен нулю, поэтому концы не входят.
  • Концы бывают с корнем: (x−5)2<2(x - 5)^2 < 2 даёт 5−2<x<5+25 - \sqrt2 < x < 5 + \sqrt2. В поле ответа корень набирают так: 5 − √2.

Системы

  • Сложение: 4x2+y=94x^2 + y = 9 и 8x2−y=38x^2 - y = 3 дают 12x2=1212x^2 = 12.
  • Подстановка: yy из одного уравнения — в другое, квадратное уравнение на xx, затем yy для каждого xx.
  • x2+y2=sx^2 + y^2 = s, xy=pxy = p: (x+y)2=s+2p(x + y)^2 = s + 2p, (x−y)2=s−2p(x - y)^2 = s - 2p — четыре пары.
  • Ответ — пары (x; y)(x;\ y): каждое решение в своих скобках.

Выражения

  • Дробь со степенями: основание разложите на простые, 18n+3=2n+3⋅32n+618^{n+3} = 2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}, и вычтите показатели — nn сократится.
  • 2a−7b+57a−2b+5=9\frac{2a - 7b + 5}{7a - 2b + 5} = 9: умножьте крест-накрест, 61a−11b=−4061a - 11b = -40 — так находят 61a−11b+50=1061a - 11b + 50 = 10, не зная aa и bb.

Частые ошибки

  • Делят на выражение с переменной и теряют корень.
  • Забывают проверить ОДЗ — корня, знаменателя.
  • В системе находят xx и не находят yy, или записывают ответ без пар.

Смежные темы