Дерево вероятностей и формула полной вероятности

Правила дерева

• Вероятности на ветвях из одной вершины в сумме дают 1.
• Вероятность пути — произведение вероятностей вдоль него.
• Вероятность события — сумма вероятностей всех путей, которые к нему ведут.

Условная вероятность

$P(B \mid A) = \frac{P(A \text{ и } B)}{P(A)}$ — вероятность $B$, если известно, что $A$ произошло. На второй ступени дерева стоят именно условные вероятности.

Формула полной вероятности

Если гипотезы $H_1, \dots, H_n$ несовместны и вместе охватывают все исходы, то $P(A) = P(H_1)P(A \mid H_1) + \dots + P(H_n)P(A \mid H_n)$.

Формула Байеса

$P(H_i \mid A) = \frac{P(H_i)P(A \mid H_i)}{P(A)}$ — какая доля вероятности $A$ приходится на путь через $H_i$. Так отвечают, с какой фабрики скорее всего бракованная деталь.

Независимость

$A$ и $B$ независимы, если $P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B)$. Стрелок попадает с вероятностью 0,8 — все три выстрела в цель с вероятностью $0{,}8^3 = 0{,}512$, хотя бы один — $1 - 0{,}2^3 = 0{,}992$.

Частые ошибки

• Складывают вероятности вдоль одной ветки, а их надо перемножать.
• В формуле Байеса забывают разделить на $P(A)$.